[题目]-|||-求函数 (x)=ln (1+(x)^2) 的单调区间、凹凸区-|||-间、极值、拐点。

考查要点：本题主要考查函数的单调性、凹凸性、极值和拐点的求解方法，需要综合运用导数的相关知识。

解题思路：

1. 单调区间：通过求一阶导数 $f'(x)$，分析其符号变化，确定函数的增减区间。
2. 极值：找到一阶导数为零的点（临界点），结合导数符号变化判断极值类型。
3. 凹凸区间与拐点：通过求二阶导数 $f''(x)$，分析其符号变化，确定凹凸区间；二阶导数为零且符号变化的点即为拐点。

关键点：

• 一阶导数：$f'(x) = \frac{2x}{1+x^2}$，符号由分子 $2x$ 决定。
• 二阶导数：$f''(x) = \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}$，符号由分子 $1-x^2$ 决定。

单调区间与极值

1. 求一阶导数：
   $f'(x) = \frac{d}{dx} \ln(1+x^2) = \frac{2x}{1+x^2}$
2. 求临界点：
   解方程 $f'(x) = 0$，得 $2x = 0 \Rightarrow x = 0$。
3. 分析导数符号：
   • 当 $x > 0$ 时，$f'(x) > 0$，函数在 $(0, +\infty)$ 单调递增。
   • 当 $x < 0$ 时，$f'(x) < 0$，函数在 $(-\infty, 0)$ 单调递减。
4. 极值判断：
   • $x=0$ 是极小值点，极小值为 $f(0) = \ln(1+0^2) = 0$。

凹凸区间与拐点

1. 求二阶导数：
   $f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right) = \frac{2(1+x^2) - 4x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}$
2. 求二阶导数为零的点：
   解方程 $f''(x) = 0$，得 $1-x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$。
3. 分析二阶导数符号：
   • 当 $x \in (-1, 1)$ 时，$f''(x) > 0$，函数在此区间凹。
   • 当 $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ 时，$f''(x) < 0$，函数在此区间凸。
4. 拐点确定：
   • $x = -1$ 和 $x = 1$ 处凹凸性改变，对应拐点为 $(-1, \ln 2)$ 和 $(1, \ln 2)$。