题目
(15) lim _(xarrow pi )dfrac (sin 2(x-pi ))(x-pi );
题目解答
答案
解析
本题考查的知识点是极限的计算，解题思路是利用等价无穷小的替换来简化极限表达式。
下面进行详细的计算：
- 首先，我们知道当$u \to 0$时，$\sin u \sim u$。
在本题中，令$u = 2(x - \pi)$，当$x \to \pi$时，$u = 2(x - \pi) \to 0$。 - 对原式$\lim _{x\rightarrow \pi }\dfrac {\sin 2(x - \pi )}{x - \pi }$进行等价无穷小替换，将$\sin 2(x - \pi )$替换为$2(x - \pi )$，得到$\lim _{x\rightarrow \pi }\dfrac {2(x - \pi )}{x - \pi }$。
- 然后对$\lim _{x\rightarrow \pi }\dfrac {2(x - \pi )}{x - \pi }$进行化简，分子分母同时约去$(x - \pi )$，得到$\lim _{x\rightarrow \pi } 2$。
- 最后，因为常数的极限就是其本身，所以$\lim _{x\rightarrow \pi } 2 = 2$。