题目

设A, B是两个事件，已知P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(B|overline(A))=0.4，求P(overline(A)B)=（），P(AB)=（），P(Acup B)=（）。

设A, B是两个事件，已知$P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(B|\overline{A})=0.4$，求$P(\overline{A}B)=$（），$P(AB)=$（），$P(A\cup B)=$（）。

题目解答

答案

已知 $ P(A) = 0.5 $，$ P(B) = 0.6 $，$ P(B \mid \overline{A}) = 0.4 $，求 $ P(\overline{A}B) $，$ P(AB) $，$ P(A \cup B) $。 1. **求 $ P(\overline{A}B) $**： 由条件概率公式 $ P(B \mid \overline{A}) = \frac{P(\overline{A}B)}{P(\overline{A})} $，且 $ P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 0.5 $，得 \[ P(\overline{A}B) = P(B \mid \overline{A}) \times P(\overline{A}) = 0.4 \times 0.5 = 0.2 \] 2. **求 $ P(AB) $**： 由 $ P(B) = P(AB) + P(\overline{A}B) $，得 \[ P(AB) = P(B) - P(\overline{A}B) = 0.6 - 0.2 = 0.4 \] 3. **求 $ P(A \cup B) $**： 由概率加法公式 $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) $，得 \[ P(A \cup B) = 0.5 + 0.6 - 0.4 = 0.7 \] **答案：** \[ \boxed{ \begin{array}{ccc} P(\overline{A}B) &=& 0.2, \\ P(AB) &=& 0.4, \\ P(A \cup B) &=& 0.7. \end{array} } \]

解析

考查要点：本题主要考查条件概率、事件分解及概率加法公式的应用。
解题思路：

  1. 利用条件概率公式求出$P(\overline{A}B)$；
  2. 分解事件$B$为$AB$和$\overline{A}B$的和，结合已知概率求$P(AB)$；
  3. 应用概率加法公式计算$P(A \cup B)$。
    关键点：
  • 条件概率公式的灵活运用；
  • 事件分解的逻辑关系；
  • 加法公式中避免重复计算交集概率。

1. 求$P(\overline{A}B)$

根据条件概率公式：
$P(B \mid \overline{A}) = \frac{P(\overline{A}B)}{P(\overline{A})}$
已知$P(B \mid \overline{A}) = 0.4$，且$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.5 = 0.5$，代入得：
$P(\overline{A}B) = P(B \mid \overline{A}) \cdot P(\overline{A}) = 0.4 \times 0.5 = 0.2$

2. 求$P(AB)$

事件$B$可分解为$AB$和$\overline{A}B$的和，即：
$P(B) = P(AB) + P(\overline{A}B)$
已知$P(B) = 0.6$，$P(\overline{A}B) = 0.2$，代入得：
$P(AB) = P(B) - P(\overline{A}B) = 0.6 - 0.2 = 0.4$

3. 求$P(A \cup B)$

根据概率加法公式：
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$
代入已知值$P(A) = 0.5$，$P(B) = 0.6$，$P(AB) = 0.4$，得：
$P(A \cup B) = 0.5 + 0.6 - 0.4 = 0.7$