（2）已知函数f(x)= ) 2(x-1),xlt 1 ln x,xgeqslant 1 .

考查要点：本题主要考查分段函数的原函数求解，需满足两个条件：

1. 分段区间内导数正确：每个分段区间的原函数求导后应等于原函数在对应区间的表达式；
2. 分段点连续性：原函数在分段点（此处为$x=1$）必须连续，否则导数可能不存在。

解题核心思路：

1. 分段积分：分别对$x<1$和$x \geq 1$的区间求原函数；
2. 调整常数项：确保原函数在$x=1$处连续，确定积分常数；
3. 验证选项：对每个选项求导并检查连续性，排除错误选项。

步骤1：求$x<1$时的原函数

当$x<1$时，$f(x)=2(x-1)$，积分得：
$\int 2(x-1) \, dx = (x-1)^2 + C_1$
所有选项在$x<1$时均为$(x-1)^2$，故无需区分，重点分析$x \geq 1$部分。

步骤2：求$x \geq 1$时的原函数

当$x \geq 1$时，$f(x)=\ln x$，积分得：
$\int \ln x \, dx = x(\ln x - 1) + C_2$
需通过连续性条件确定$C_2$：

• 当$x \to 1^-$时，原函数值为$(1-1)^2 = 0$；
• 当$x=1$时，$x(\ln 1 - 1) + C_2 = -1 + C_2$；
• 连续性要求$-1 + C_2 = 0 \implies C_2 = 1$，故$x \geq 1$的原函数为：
  $x(\ln x - 1) + 1$

步骤3：验证选项

• 选项D：$x \geq 1$时为$x(\ln x - 1) + 1$，导数为$\ln x$，且在$x=1$处连续；
• 其他选项：导数错误或不连续（如选项B导数为$\ln x + 2$，选项A在$x=1$处不连续）。