题目
设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)= {x)^2+dfrac (xy)(3),0leqslant xleqslant 1,0leqslant yleqslant 2证明：X和Y不相互独立。
设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为
证明：X和Y不相互独立。
题目解答
答案
要证明X和Y不相互独立，我们可以使用概率密度函数的性质。如果X和Y相互独立，那么它们的联合概率密度函数应该等于它们的边缘概率密度函数的乘积。我们可以尝试计算X和Y的边缘概率密度函数以及它们的联合概率密度函数，然后比较它们。
首先，计算X的边缘概率密度函数。边缘概率密度函数
可以通过积分联合概率密度函数f(x, y)来得到，即：
在这个情况下，f(x, y)在[0,2]之外的区域值为0，因此只需考虑[0,2]区域内的部分：
计算上述积分后，我们得到的表达式：
接下来，计算Y的边缘概率密度函数。边缘概率密度函数
可以通过积分联合概率密度函数f(x, y)来得到，即：
在这个情况下，f(x, y)在[0,1]之外的区域值为0，因此只需考虑[0,1]区域内的部分：
计算上述积分后，我们得到的表达式：
现在，我们可以计算X和Y的联合概率密度函数
。联合概率密度函数已经在题目中给出：
现在，我们可以比较联合概率密度函数与边缘概率密度函数和的乘积：
因为联合概率密度函数与边缘概率密度函数
不相等，所以X和Y不是相互独立的。
解析
步骤 1：计算X的边缘概率密度函数
为了计算X的边缘概率密度函数$f_X(x)$，我们需要对联合概率密度函数$f(x,y)$在$y$的范围内进行积分。根据题目中的定义，$f(x,y)$在$0\leqslant y\leqslant 2$的范围内非零，因此我们有：
$$f_X(x) = \int_{0}^{2} f(x,y) dy = \int_{0}^{2} \left(x^2 + \frac{xy}{3}\right) dy$$
步骤 2：计算Y的边缘概率密度函数
为了计算Y的边缘概率密度函数$f_Y(y)$，我们需要对联合概率密度函数$f(x,y)$在$x$的范围内进行积分。根据题目中的定义，$f(x,y)$在$0\leqslant x\leqslant 1$的范围内非零，因此我们有：
$$f_Y(y) = \int_{0}^{1} f(x,y) dx = \int_{0}^{1} \left(x^2 + \frac{xy}{3}\right) dx$$
步骤 3：计算联合概率密度函数$f(x,y)$与边缘概率密度函数$f_X(x)$和$f_Y(y)$的乘积
如果X和Y相互独立，那么联合概率密度函数$f(x,y)$应该等于边缘概率密度函数$f_X(x)$和$f_Y(y)$的乘积。我们计算$f_X(x)$和$f_Y(y)$的乘积：
$$f_X(x) \times f_Y(y)$$
步骤 4：比较联合概率密度函数$f(x,y)$与边缘概率密度函数$f_X(x)$和$f_Y(y)$的乘积
如果$f(x,y) \neq f_X(x) \times f_Y(y)$，则X和Y不相互独立。
为了计算X的边缘概率密度函数$f_X(x)$，我们需要对联合概率密度函数$f(x,y)$在$y$的范围内进行积分。根据题目中的定义，$f(x,y)$在$0\leqslant y\leqslant 2$的范围内非零，因此我们有：
$$f_X(x) = \int_{0}^{2} f(x,y) dy = \int_{0}^{2} \left(x^2 + \frac{xy}{3}\right) dy$$
步骤 2：计算Y的边缘概率密度函数
为了计算Y的边缘概率密度函数$f_Y(y)$，我们需要对联合概率密度函数$f(x,y)$在$x$的范围内进行积分。根据题目中的定义，$f(x,y)$在$0\leqslant x\leqslant 1$的范围内非零，因此我们有：
$$f_Y(y) = \int_{0}^{1} f(x,y) dx = \int_{0}^{1} \left(x^2 + \frac{xy}{3}\right) dx$$
步骤 3：计算联合概率密度函数$f(x,y)$与边缘概率密度函数$f_X(x)$和$f_Y(y)$的乘积
如果X和Y相互独立，那么联合概率密度函数$f(x,y)$应该等于边缘概率密度函数$f_X(x)$和$f_Y(y)$的乘积。我们计算$f_X(x)$和$f_Y(y)$的乘积：
$$f_X(x) \times f_Y(y)$$
步骤 4：比较联合概率密度函数$f(x,y)$与边缘概率密度函数$f_X(x)$和$f_Y(y)$的乘积
如果$f(x,y) \neq f_X(x) \times f_Y(y)$，则X和Y不相互独立。