一个质点在OXY平面内做曲线运动，其加速度是时间的函数。已知ax=2, ay=36t2（SI）。设质点在t＝0时r0=0, v0=0。求：（1）此质点的运动方程；（2）此质点的轨道方程；（3）此质点的切向加速度。（SI）

考查要点：本题主要考查质点运动学中由加速度求运动方程、轨道方程及切向加速度的方法，涉及积分法、参数方程消元法以及切向加速度的计算。

解题思路：

1. 运动方程：通过两次积分加速度分量，结合初始条件确定速度和位置的表达式。
2. 轨道方程：从运动方程中消去时间参数$t$，得到$y$与$x$的关系式。
3. 切向加速度：利用速度大小对时间的导数或速度与加速度的点积公式计算。

关键点：

• 积分法：注意积分常数由初始条件确定。
• 消元法：通过$x(t)$表达式反解$t$，代入$y(t)$消去参数。
• 切向加速度公式：$a_t = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{a}}{v}$。

第（1）题：运动方程

求速度分量

对加速度分量积分：

• $v_x = \int_0^t a_x \, \mathrm{d}t = \int_0^t 2 \, \mathrm{d}t = 2t$
• $v_y = \int_0^t a_y \, \mathrm{d}t = \int_0^t 36t^2 \, \mathrm{d}t = 12t^3$

求位置坐标

对速度分量积分：

• $x = \int_0^t v_x \, \mathrm{d}t = \int_0^t 2t \, \mathrm{d}t = t^2$
• $y = \int_0^t v_y \, \mathrm{d}t = \int_0^t 12t^3 \, \mathrm{d}t = 3t^4$

运动方程矢量形式

$\vec{R} = x \hat{i} + y \hat{j} = t^2 \hat{i} + 3t^4 \hat{j}$

第（2）题：轨道方程

从$x = t^2$得$t = \sqrt{x}$，代入$y = 3t^4$：
$y = 3(\sqrt{x})^4 = 3x^2$

第（3）题：切向加速度

求速度大小

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(2t)^2 + (12t^3)^2} = 2t \sqrt{1 + 36t^4}$

切向加速度计算

$a_t = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \frac{4 + 432t^5}{\sqrt{1 + 36t^4}}$