题目

3.(单选题)矩阵A=}1&0&12&1&0-3&2&-5=( ).A }0&-1/2&0-3&-3/4&-1/2-1&0&0B }0&-1/2&13&-3/4&-1/21&0&0C }1&-1/2&1-3&-3/4&-1/20&1&0D }1&-1/2&03&3/4&1/2-1&0&0

3.(单选题) 矩阵$A=\begin{pmatrix}1&0&1\\2&1&0\\-3&2&-5\end{pmatrix}$，则$(E-A)^{-1}=( )$. A $\begin{pmatrix}0&-1/2&0\\-3&-3/4&-1/2\\-1&0&0\end{pmatrix}$ B $\begin{pmatrix}0&-1/2&1\\3&-3/4&-1/2\\1&0&0\end{pmatrix}$ C $\begin{pmatrix}1&-1/2&1\\-3&-3/4&-1/2\\0&1&0\end{pmatrix}$ D $\begin{pmatrix}1&-1/2&0\\3&3/4&1/2\\-1&0&0\end{pmatrix}$

题目解答

答案

计算 $E - A$，其中 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & -5 \end{pmatrix}$，得
$E - A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ -2 & 0 & 0 \\ 3 & -2 & 6 \end{pmatrix}.$
对 $(E - A, E)$ 进行初等行变换，将左边转换为单位矩阵：

  1. 交换第1、2行，得 $\begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & -2 & 6 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
  2. 第1行乘 $-1/2$，得 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -1/2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & -2 & 6 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
  3. 第3行减去第1行的3倍，得 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -1/2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 6 & 0 & 3/2 & 1 \end{pmatrix}$。
  4. 交换第2、3行，得 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -1/2 & 0 \\ 0 & -2 & 6 & 0 & 3/2 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
  5. 第2行乘 $-1/2$，第3行乘 $-1$，得 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -1/2 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 0 & -3/4 & -1/2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
  6. 第2行加第3行的3倍，得 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -1/2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -3 & -3/4 & -1/2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。

答案： $\boxed{A}$