24. int (e)^sqrt (3x+9)dx.

考查要点：本题主要考查换元积分法和分部积分法的综合应用。被积函数为指数函数与根式函数的复合形式，需通过变量替换简化积分表达式，再结合分部积分完成计算。

解题核心思路：

1. 变量替换：设中间变量$u = \sqrt{3x + 9}$，将原积分转化为关于$u$的积分。
2. 分部积分：处理替换后的积分$\int u e^u \, du$，通过分部积分法降次求解。
3. 回代变量：将结果中的变量$u$替换回原变量$x$，得到最终答案。

变量替换

设$u = \sqrt{3x + 9}$，则：
$x = \frac{1}{3}(u^2 - 9), \quad dx = \frac{2}{3}u \, du$
原积分变为：
$\int e^{\sqrt{3x+9}} \, dx = \int e^u \cdot \frac{2}{3}u \, du = \frac{2}{3} \int u e^u \, du$

分部积分

对$\int u e^u \, du$使用分部积分法：

• 设$v = u$，则$dv = du$；
• 设$dw = e^u \, du$，则$w = e^u$。

根据分部积分公式$\int v \, dw = vw - \int w \, dv$：
$\int u e^u \, du = u e^u - \int e^u \, du = u e^u - e^u + C$

代回变量

将结果代入原积分表达式：
$\frac{2}{3} \left( u e^u - e^u \right) + C = \frac{2}{3} e^u (u - 1) + C$
最后将$u = \sqrt{3x + 9}$代回，得到：
$\frac{2}{3} e^{\sqrt{3x + 9}} \left( \sqrt{3x + 9} - 1 \right) + C$