题目
A为3阶方阵, |A|=-dfrac (1)(4), 求 |3(A)^*+((4A))^-1|
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 $A^*$ 的行列式
根据行列式性质，$|A^*| = |A|^{n-1}$，其中 $n$ 是矩阵的阶数。对于3阶方阵 $A$，有 $|A^*| = |A|^2 = \left(-\dfrac{1}{4}\right)^2 = \dfrac{1}{16}$。
步骤 2：计算 $(4A)^{-1}$ 的行列式
根据行列式性质，$|kA| = k^n|A|$，其中 $k$ 是常数，$n$ 是矩阵的阶数。对于3阶方阵 $A$，有 $|4A| = 4^3|A| = 64 \times \left(-\dfrac{1}{4}\right) = -16$。因此，$|(4A)^{-1}| = \dfrac{1}{|4A|} = \dfrac{1}{-16} = -\dfrac{1}{16}$。
步骤 3：计算 $3A^* + (4A)^{-1}$ 的行列式
根据行列式性质，$|kA| = k^n|A|$，其中 $k$ 是常数，$n$ 是矩阵的阶数。对于3阶方阵 $A$，有 $|3A^*| = 3^3|A^*| = 27 \times \dfrac{1}{16} = \dfrac{27}{16}$。因此，$|3A^* + (4A)^{-1}| = \left|\dfrac{27}{16} - \dfrac{1}{16}\right| = \left|\dfrac{26}{16}\right| = \dfrac{13}{8}$。
根据行列式性质，$|A^*| = |A|^{n-1}$，其中 $n$ 是矩阵的阶数。对于3阶方阵 $A$，有 $|A^*| = |A|^2 = \left(-\dfrac{1}{4}\right)^2 = \dfrac{1}{16}$。
步骤 2：计算 $(4A)^{-1}$ 的行列式
根据行列式性质，$|kA| = k^n|A|$，其中 $k$ 是常数，$n$ 是矩阵的阶数。对于3阶方阵 $A$，有 $|4A| = 4^3|A| = 64 \times \left(-\dfrac{1}{4}\right) = -16$。因此，$|(4A)^{-1}| = \dfrac{1}{|4A|} = \dfrac{1}{-16} = -\dfrac{1}{16}$。
步骤 3：计算 $3A^* + (4A)^{-1}$ 的行列式
根据行列式性质，$|kA| = k^n|A|$，其中 $k$ 是常数，$n$ 是矩阵的阶数。对于3阶方阵 $A$，有 $|3A^*| = 3^3|A^*| = 27 \times \dfrac{1}{16} = \dfrac{27}{16}$。因此，$|3A^* + (4A)^{-1}| = \left|\dfrac{27}{16} - \dfrac{1}{16}\right| = \left|\dfrac{26}{16}\right| = \dfrac{13}{8}$。