题目
已知当X趋近于0时，x^2ln(1+x^2)是sin^n(x)的高阶无穷小,sin^n(x)又是1-cosx的高阶无穷小，求正整数n
已知当X趋近于0时，x^2ln(1+x^2)是sin^n(x)的高阶无穷小,sin^n(x)又是1-cosx的高阶无穷小，求正整数n
题目解答
答案
x^2ln(1+x^2)等价于x^4
1-cosx等价于x^2/2
所以
x^2ln(1+x^2)是sin^n(x)的高阶无穷小,sin^n(x)又是1-cosx的高阶无穷小
即
sin^n(x)等价于x³
即
n=3
1-cosx等价于x^2/2
所以
x^2ln(1+x^2)是sin^n(x)的高阶无穷小,sin^n(x)又是1-cosx的高阶无穷小
即
sin^n(x)等价于x³
即
n=3
解析
步骤 1：等价无穷小替换
当x趋近于0时，x^2ln(1+x^2)可以使用等价无穷小替换，即x^2ln(1+x^2)等价于x^4。这是因为当x趋近于0时，ln(1+x^2)等价于x^2，所以x^2ln(1+x^2)等价于x^4。
步骤 2：等价无穷小替换
当x趋近于0时，1-cosx可以使用等价无穷小替换，即1-cosx等价于x^2/2。这是因为当x趋近于0时，cosx等价于1-x^2/2，所以1-cosx等价于x^2/2。
步骤 3：高阶无穷小关系
根据题目条件，x^2ln(1+x^2)是sin^n(x)的高阶无穷小，sin^n(x)又是1-cosx的高阶无穷小。因此，sin^n(x)的阶数应该介于x^4和x^2/2之间。由于x^4是x^2/2的高阶无穷小，所以sin^n(x)的阶数应该大于x^2/2的阶数，即n>2。同时，sin^n(x)的阶数应该小于x^4的阶数，即n<4。因此，n只能取3。
当x趋近于0时，x^2ln(1+x^2)可以使用等价无穷小替换，即x^2ln(1+x^2)等价于x^4。这是因为当x趋近于0时，ln(1+x^2)等价于x^2，所以x^2ln(1+x^2)等价于x^4。
步骤 2：等价无穷小替换
当x趋近于0时，1-cosx可以使用等价无穷小替换，即1-cosx等价于x^2/2。这是因为当x趋近于0时，cosx等价于1-x^2/2，所以1-cosx等价于x^2/2。
步骤 3：高阶无穷小关系
根据题目条件，x^2ln(1+x^2)是sin^n(x)的高阶无穷小，sin^n(x)又是1-cosx的高阶无穷小。因此，sin^n(x)的阶数应该介于x^4和x^2/2之间。由于x^4是x^2/2的高阶无穷小，所以sin^n(x)的阶数应该大于x^2/2的阶数，即n>2。同时，sin^n(x)的阶数应该小于x^4的阶数，即n<4。因此，n只能取3。