14.填空题 函数z=x^2+2y^2在点（1，-1）处沿其增加最快的方向的方向导数等于_____.

为了找到函数 $z = x^2 + 2y^2$ 在点 $(1, -1)$ 处沿其增加最快的方向的方向导数，我们需要遵循以下步骤： 1. 计算函数的梯度： 函数 $z = x^2 + 2y^2$ 的梯度由下式给出： $\nabla z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right)$ 计算偏导数，我们得到： $\frac{\partial z}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = 4y$ 因此，梯度为： $\nabla z = (2x, 4y)$ 2. 在点 $(1, -1)$ 处评估梯度： 将 $x = 1$ 和 $y = -1$ 代入梯度，我们得到： $\nabla z \bigg|_{(1, -1)} = (2 \cdot 1, 4 \cdot -1) = (2, -4)$ 3. 找到梯度的模： 梯度向量 $(2, -4)$ 的模为： $$\nabla z \bigg|_{(1, -1)}$ = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ 4. 确定方向导数： 函数在某点处沿其增加最快的方向的方向导数是该点处梯度的模。因此，函数 $z = x^2 + 2y^2$ 在点 $(1, -1)$ 处沿其增加最快的方向的方向导数为： $2\sqrt{5}$ 因此，答案是： $\boxed{2\sqrt{5}}$