题目
将函数(x)=dfrac (1)({x)^2+4x}展开成关于 x + 1 的幂级数，并指出收敛区间。
将函数
展开成关于 x + 1 的幂级数，并指出收敛区间。
题目解答
答案
函数
函数
收敛区间：-2<x<0
故幂级数：
解析
步骤 1：将函数$f(x)=\dfrac {1}{{x}^{2}+4x}$改写为关于$x+1$的函数形式。
首先，我们注意到${x}^{2}+4x$可以改写为$(x+1)^{2}+2(x+1)-3$，这样我们就可以将函数$f(x)$改写为关于$x+1$的函数形式。
步骤 2：将函数$f(x)$改写为关于$x+1$的函数形式。
$f(x)=\dfrac {1}{{x}^{2}+4x}=\dfrac {1}{(x+1)^{2}+2(x+1)-3}$
步骤 3：将函数$f(x)$改写为关于$x+1$的幂级数形式。
$f(x)=\dfrac {1}{(x+1)^{2}+2(x+1)-3}=-\dfrac {1}{4}\sum _{n=0}^{\infty }{(x+1)}^{n}-\dfrac {1}{12}\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{(\dfrac {x+1}{3})}^{n}$
步骤 4：确定幂级数的收敛区间。
幂级数的收敛区间为$-2
首先，我们注意到${x}^{2}+4x$可以改写为$(x+1)^{2}+2(x+1)-3$，这样我们就可以将函数$f(x)$改写为关于$x+1$的函数形式。
步骤 2：将函数$f(x)$改写为关于$x+1$的函数形式。
$f(x)=\dfrac {1}{{x}^{2}+4x}=\dfrac {1}{(x+1)^{2}+2(x+1)-3}$
步骤 3：将函数$f(x)$改写为关于$x+1$的幂级数形式。
$f(x)=\dfrac {1}{(x+1)^{2}+2(x+1)-3}=-\dfrac {1}{4}\sum _{n=0}^{\infty }{(x+1)}^{n}-\dfrac {1}{12}\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{(\dfrac {x+1}{3})}^{n}$
步骤 4：确定幂级数的收敛区间。
幂级数的收敛区间为$-2