题目

在下图所示的容器中半径 R=0.15m，高 H=0.5 m，充水深度 h=0.3 m，若容器绕 z 轴以等角速度旋转，求容器以多大极限转速 n 旋转时，才不致使水从容器中溢出。

在下图所示的容器中半径 R=0.15m，高 H=0.5 m，充水深度 h=0.3 m，若容器绕 z 轴以等角速度 $\omega$ 旋转，求容器以多大极限转速 n 旋转时，才不致使水从容器中溢出。

题目解答

建立随圆柱容器一起转动的坐标系oxyz，O点在水面最低点。

则有： $\rho f_x-\frac{\delta p}{\delta x}=0$

$\rho f_y-\frac{\delta p}{\delta y}=0$

$\rho f_z-\frac{\delta p}{\delta z}=0$

即有： $\rho f_xdx+\rho f_ydy+\rho f_zdz=dp$

其中： $f_z=-g$ ， $\ f_x=rw^2\cos\theta=x\ w^2$ ， $\ f_y=rw^2\sin\theta=yw^2$

故有： $dp=\rho\left(xw^2dx+yw^2dy-gdz\right)$

$\ p-p_0=-\rho gz+\frac{\rho w^2}{2}\left(x^2+y^2\right)$

$\ p=p_0-\rho dz+\frac{\rho w^2}{2}r^2$

当在自由面时， $P=P_0$ ，所以自由面满足 $z_0=\frac{w^2}{2g}r^2$

所以 $p=p_0+\rho g\left(z_0-z\right)=p_0+\rho gh$

上式说明，对任意点(x,y,z)=(r,z)的压强，依然等于自由面压强 $p_0+水深\times\rho g$ 。

所以等压面为旋转、相互平行的抛物面。

故最大为18.67rad/s 时不致使水从容器中溢出。