1.(2010年,1分)函数 =sqrt (1-{x)^2}-arcsin dfrac (x+1)(2) 的定义域是 ()-|||-(A) [ -3,1] . (B) [ -3,-1] (C) [ -3,-1) . (D) [ -1,1]

考查要点：本题主要考查函数定义域的求解，涉及根号函数和反正弦函数的定义域条件。

解题核心思路：

1. 分部分分析：分别求出根号部分 $\sqrt{1-x^2}$ 和反正弦部分 $\arcsin \frac{x+1}{2}$ 的定义域。
2. 求交集：将两部分的定义域取交集，得到最终结果。

破题关键点：

• 根号条件：$1-x^2 \geq 0$，即 $x \in [-1, 1]$。
• 反正弦条件：$\frac{x+1}{2}$ 的取值范围必须在 $[-1, 1]$ 内，解得 $x \in [-3, 1]$。
• 交集运算：两部分定义域的公共部分为 $[-1, 1]$。

步骤1：分析根号部分的定义域

根号 $\sqrt{1-x^2}$ 的被开方数必须非负：
$1 - x^2 \geq 0 \implies x^2 \leq 1 \implies -1 \leq x \leq 1.$

步骤2：分析反正弦部分的定义域

反正弦函数 $\arcsin \frac{x+1}{2}$ 的参数必须满足：
$-1 \leq \frac{x+1}{2} \leq 1.$
解不等式：

1. 下界：$\frac{x+1}{2} \geq -1 \implies x+1 \geq -2 \implies x \geq -3$；
2. 上界：$\frac{x+1}{2} \leq 1 \implies x+1 \leq 2 \implies x \leq 1$；
   因此，$x \in [-3, 1]$。

步骤3：求交集

两部分定义域的交集为：
$[-1, 1] \cap [-3, 1] = [-1, 1].$