题目
A. E D-|||-F-|||-B如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，联结BE，交对角线AC于点F，如果((S)_(△AEF))/((S)_{△BFC)}=(1)/(9)，AD=15，那么AE= ____ ．
如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，联结BE，交对角线AC于点F，如果$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△BFC}}$=$\frac{1}{9}$，AD=15，那么AE= ____ ．题目解答
答案
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CB，CB=AD=15，
∴△AEF∽△CBF，
∴$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△CBF}}$=$（\frac{AE}{CB}）^{2}$=$\frac{1}{9}$，
∵$\frac{AE}{CB}$＞0，
∴$\frac{AE}{CB}$=$\frac{1}{3}$，
∴AE=$\frac{1}{3}$CB=$\frac{1}{3}$×15=5，
故答案为：5．
∴AE∥CB，CB=AD=15，
∴△AEF∽△CBF，
∴$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△CBF}}$=$（\frac{AE}{CB}）^{2}$=$\frac{1}{9}$，
∵$\frac{AE}{CB}$＞0，
∴$\frac{AE}{CB}$=$\frac{1}{3}$，
∴AE=$\frac{1}{3}$CB=$\frac{1}{3}$×15=5，
故答案为：5．
解析
考查要点：本题主要考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，以及面积比与边长比的关系。
解题核心思路：
- 利用平行四边形的对边平行且相等，确定相关边的关系；
- 通过平行线的性质判定相似三角形（△AEF ∽ △CBF）；
- 根据面积比求相似比，进而求出对应边长。
破题关键点：
- 发现△AEF与△CBF的相似关系，明确面积比与边长比的平方关系。
步骤1：确定相似三角形
在平行四边形ABCD中，AD ∥ BC，因此：
- ∠EAF = ∠FCB（内错角相等），
- ∠AEF = ∠CFB（同位角相等）。
根据两角对应相等，两三角形相似，可得：
$\triangle AEF \sim \triangle CBF$
步骤2：建立面积比与边长比的关系
已知$\frac{S_{\triangle AEF}}{S_{\triangle BFC}} = \frac{1}{9}$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，有：
$\left( \frac{AE}{CB} \right)^2 = \frac{1}{9}$
解得：
$\frac{AE}{CB} = \frac{1}{3}$
步骤3：代入已知边长求解
在平行四边形中，CB = AD = 15，因此：
$AE = \frac{1}{3} \times CB = \frac{1}{3} \times 15 = 5$