题目
设(x)+(x)^2f(dfrac (1)(x))=dfrac ({x)^2+2x}(x+1) 求f(x)
设
题目解答
答案
解：已知
，用
替换(1)式中的
可得，
，整理可得，
（2）
,所以，
解析
步骤 1：代入$\dfrac{1}{x}$替换$x$
将$x$替换为$\dfrac{1}{x}$，得到$f(\dfrac{1}{x})+\dfrac{1}{{x}^{2}}f(x)=\dfrac{\dfrac{1}{{x}^{2}}+\dfrac{2}{x}}{\dfrac{1}{x}+1}$，即$f(\dfrac{1}{x})+\dfrac{1}{{x}^{2}}f(x)=\dfrac{1+2x}{x+{x}^{2}}$。
步骤 2：整理方程
将方程两边同时乘以${x}^{2}$，得到${x}^{2}f(\dfrac{1}{x})+f(x)=\dfrac{{x}^{2}+2x}{x+1}$。
步骤 3：联立方程
联立原方程$f(x)+{x}^{2}f(\dfrac{1}{x})=\dfrac{{x}^{2}+2x}{x+1}$和新方程${x}^{2}f(\dfrac{1}{x})+f(x)=\dfrac{{x}^{2}+2x}{x+1}$，得到$2f(x)+{x}^{2}f(\dfrac{1}{x})=\dfrac{2{x}^{2}+2x}{x+1}$。
步骤 4：消去$f(\dfrac{1}{x})$
将原方程乘以2，得到$2f(x)+2{x}^{2}f(\dfrac{1}{x})=\dfrac{2{x}^{2}+4x}{x+1}$，然后用这个方程减去步骤3中的方程，得到$f(x)=\dfrac{3x}{x+1}$。
将$x$替换为$\dfrac{1}{x}$，得到$f(\dfrac{1}{x})+\dfrac{1}{{x}^{2}}f(x)=\dfrac{\dfrac{1}{{x}^{2}}+\dfrac{2}{x}}{\dfrac{1}{x}+1}$，即$f(\dfrac{1}{x})+\dfrac{1}{{x}^{2}}f(x)=\dfrac{1+2x}{x+{x}^{2}}$。
步骤 2：整理方程
将方程两边同时乘以${x}^{2}$，得到${x}^{2}f(\dfrac{1}{x})+f(x)=\dfrac{{x}^{2}+2x}{x+1}$。
步骤 3：联立方程
联立原方程$f(x)+{x}^{2}f(\dfrac{1}{x})=\dfrac{{x}^{2}+2x}{x+1}$和新方程${x}^{2}f(\dfrac{1}{x})+f(x)=\dfrac{{x}^{2}+2x}{x+1}$，得到$2f(x)+{x}^{2}f(\dfrac{1}{x})=\dfrac{2{x}^{2}+2x}{x+1}$。
步骤 4：消去$f(\dfrac{1}{x})$
将原方程乘以2，得到$2f(x)+2{x}^{2}f(\dfrac{1}{x})=\dfrac{2{x}^{2}+4x}{x+1}$，然后用这个方程减去步骤3中的方程，得到$f(x)=\dfrac{3x}{x+1}$。