二阶线性齐次微分方程的两个解.y(x)、y2(x)的线性组合是其通解的必要条件是()A. 线性无关B. 线性相关C. 无法判断

本题考查二阶线性齐次微分方程通解的相关知识。解题的关键在于理解二阶线性齐次微分方程通解的结构以及线性无关和线性相关的概念。

对于二阶线性齐次微分方程 $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$，其通解的结构定理表明：如果 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是该方程的两个线性无关的解，那么方程的通解可以表示为 $y = C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是任意常数。

下面来分析线性无关和线性相关的情况：

• 线性无关：若两个函数 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 线性无关，意味着不存在不全为零的常数 $k_1$ 和 $k_2$，使得 $k_1y_1(x)+k_2y_2(x)=0$ 在定义域内恒成立。当 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解时，它们的线性组合 $y = C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$ 能够包含方程的所有解，因为 $C_1$ 和 $C_2$ 可以取任意值，从而可以表示出不同的解，所以可以构成通解。
• 线性相关：若 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 线性相关，则存在不全为零的常数 $k_1$ 和 $k_2$，使得 $k_1y_1(x)+k_2y_2(x)=0$，不妨设 $k_2\neq0$，则 $y_2(x)=-\frac{k_1}{k_2}y_1(x)$。此时它们的线性组合 $y = C_1y_1(x)+C_2y_2(x)=C_1y_1(x)-C_2\frac{k_1}{k_2}y_1(x)=(C_1 - C_2\frac{k_1}{k_2})y_1(x)$，实际上只相当于一个解的常数倍，不能表示出方程的所有解，所以不能构成通解。

综上，二阶线性齐次微分方程的两个解 $y_1(x)$))、$y_2(x)$ 的线性组合是其通解的必要条件是线性无关。