计算不定积分 int xsqrt (2+{x)^2}dx -

考查要点：本题主要考查不定积分的计算，特别是利用换元法处理含有根号的积分。

解题核心思路：观察到被积函数中的$\sqrt{2+x^2}$与$x\,dx$的组合，可以联想到内部函数$u=2+x^2$的导数为$2x$，从而通过换元法将积分转化为关于$u$的简单积分。

破题关键点：

1. 选择合适的换元：设$u=2+x^2$，则$du=2x\,dx$，从而将$x\,dx$替换为$\frac{1}{2}du$。
2. 简化积分形式：将原积分转化为关于$u$的幂函数积分，利用幂函数积分公式直接计算。

步骤1：换元法设定
设$u = 2 + x^2$，则$du = 2x\,dx$，即$x\,dx = \frac{1}{2}du$。

步骤2：替换积分变量
原积分变为：
$\int x\sqrt{2+x^2}\,dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2}du = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}}\,du$

步骤3：计算新积分
利用幂函数积分公式$\int u^n\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$，得：
$\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3}u^{\frac{3}{2}} + C$

步骤4：回代变量
将$u=2+x^2$代回，得到最终结果：
$\frac{1}{3}(2+x^2)^{\frac{3}{2}} + C$