题目

[题目]如图,AB为 ⊙O 的 D. C-|||-直径,F为弦AC的中点,连 F-|||-E A B-|||-接OF并延长交AC于点D,-|||-过点D作 ⊙O 的切线,交BA-|||-的延长线于点E.-|||-(1)求证: ykparallel DE;-|||-(2)连接CD,若 =AE=1, 求四边形ACDE-|||-面积

题目解答

答案

解析

考查要点：本题综合考查圆的性质、切线性质、平行四边形判定及面积计算。
解题思路：

  1. 第（1）问：通过切线性质（切线与半径垂直）和垂径定理（垂直于弦的直径平分弦），证明两条直线均与同一直线垂直，从而得到平行。
  2. 第（2）问：通过等边三角形判定和平行四边形面积公式，结合特殊角的三角函数求解面积。

第（1）问

切线性质与垂径定理

  • ∵ $ED$ 是圆 $O$ 的切线，$OD$ 为半径，∴ $OD \perp DE$（切线与半径垂直）。
  • ∵ $F$ 是弦 $AC$ 的中点，$OF$ 延长交 $AC$ 于 $D$，根据垂径定理，$OD \perp AC$。

平行判定

  • $AC \perp OD$，$DE \perp OD$，∴ $AC \parallel DE$（同垂直于一条直线的两直线平行）。

第（2）问

构造平行四边形

  • 由（1）知 $AC \parallel DE$，结合 $OA = AE = 1$，可证 $AD = AO = 1$，进而 $AD \parallel OC$，故 $AE \parallel CD$。
  • ∴ 四边形 $ACDE$ 是平行四边形（对边平行）。

等边三角形性质

  • ∵ $OA = AD = OD = 1$，∴ $\triangle ADO$ 是等边三角形，$\angle OAD = 60^\circ$。
  • 作 $DM \perp OA$ 于 $M$，则 $DM = AD \cdot \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$。

面积计算

  • 平行四边形面积 $S = AE \cdot DM = 1 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$。