题目
微分方程 (x^2+1)(dy)/(dx) + 2xy = 4x^2 的通解是().A. (4x^3 + C)/(x^2 + 1)B. (4x^3 + C)/(x^2 - 1)C. (4x^3 + C)/(3(x^2 - 1))D. (4x^3 + C)/(3(x^2 + 1))
微分方程 $(x^2+1)\frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$ 的通解是().
A. $\frac{4x^3 + C}{x^2 + 1}$
B. $\frac{4x^3 + C}{x^2 - 1}$
C. $\frac{4x^3 + C}{3(x^2 - 1)}$
D. $\frac{4x^3 + C}{3(x^2 + 1)}$
题目解答
答案
D. $\frac{4x^3 + C}{3(x^2 + 1)}$
解析
步骤 1：将方程重写为标准形式
原方程可以重写为 $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{x^2+1}y = \frac{4x^2}{x^2+1}$，这是一个一阶线性微分方程。
步骤 2：求解积分因子
积分因子为 $e^{\int \frac{2x}{x^2+1} dx} = e^{\ln(x^2+1)} = x^2+1$。
步骤 3：乘以积分因子并积分
将方程两边乘以积分因子 $(x^2+1)$，得到 $(x^2+1)\frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$，即 $d((x^2+1)y) = 4x^2 dx$。
步骤 4：积分求解
积分得到 $(x^2+1)y = \int 4x^2 dx = \frac{4x^3}{3} + C$。
步骤 5：求解 $y$
解得 $y = \frac{4x^3 + C}{3(x^2 + 1)}$。
原方程可以重写为 $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{x^2+1}y = \frac{4x^2}{x^2+1}$，这是一个一阶线性微分方程。
步骤 2：求解积分因子
积分因子为 $e^{\int \frac{2x}{x^2+1} dx} = e^{\ln(x^2+1)} = x^2+1$。
步骤 3：乘以积分因子并积分
将方程两边乘以积分因子 $(x^2+1)$，得到 $(x^2+1)\frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$，即 $d((x^2+1)y) = 4x^2 dx$。
步骤 4：积分求解
积分得到 $(x^2+1)y = \int 4x^2 dx = \frac{4x^3}{3} + C$。
步骤 5：求解 $y$
解得 $y = \frac{4x^3 + C}{3(x^2 + 1)}$。