2.求曲线 =dfrac (1)(x) 在点 (2,dfrac (1)(2)) 处的切线方程和法-|||-线方程。

考查要点：本题主要考查导数的几何意义及直线方程的求解方法。
解题思路：

1. 求导数：确定曲线在给定点的切线斜率；
2. 切线方程：利用点斜式方程写出切线；
3. 法线方程：根据切线斜率求法线斜率，再用点斜式方程求解。
   关键点：

• 导数公式：幂函数求导法则；
• 直线斜率关系：法线斜率是切线斜率的负倒数。

1. 求导数

函数为 $y = \dfrac{1}{x} = x^{-1}$，根据幂函数求导法则 $(x^k)' = kx^{k-1}$，得：
$y' = -1 \cdot x^{-2} = -\dfrac{1}{x^2}$

2. 求切线斜率

将点 $(2, \dfrac{1}{2})$ 代入导数表达式：
$y'(2) = -\dfrac{1}{2^2} = -\dfrac{1}{4}$
因此，切线斜率为 $k_{\text{切}} = -\dfrac{1}{4}$。

3. 切线方程

用点斜式方程 $y - y_0 = k(x - x_0)$，代入点 $(2, \dfrac{1}{2})$ 和斜率 $-\dfrac{1}{4}$：
$y - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{4}(x - 2)$
整理得：
$y = -\dfrac{1}{4}x + 1$

4. 法线斜率

法线斜率与切线斜率满足 $k_{\text{切}} \cdot k_{\text{法}} = -1$，故：
$k_{\text{法}} = -\dfrac{1}{k_{\text{切}}} = -\dfrac{1}{-\dfrac{1}{4}} = 4$

5. 法线方程

用点斜式方程，代入点 $(2, \dfrac{1}{2})$ 和斜率 $4$：
$y - \dfrac{1}{2} = 4(x - 2)$
整理得：
$y = 4x - \dfrac{15}{2}$