2.4设(X,Ⅱ·∥)是赋范线性空间,对于 ,yin X 令-|||-d(x,y)= ) 0, x=y, ||x-y||+1,xneq y, .-|||-证明:d是距离,但不能由某个范数导出,即不存在X上的范数∥·|,使得-|||-d(x,y)=||x-y||,, x,y∈X.

一、证明$d$是距离

距离需满足非负性、对称性和三角不等式，此处仅需验证三角不等式（非负性、对称性显然成立）：

关键分析：

对任意$x,y,z\in X$，若$x=y$，则$d(x,y)=0\leq d(x,z)+d(z,y)$显然成立；若$x\neq y$，则$x\neq z$与$y\neq z$至少一个成立（否则$x=z=y$矛盾），故：
$d(x,y)=\|x-y\|+1\leq \|x-z\|+\|z-y\|+1\quad (\text{范数三角不等式})$
又因$\|x-z\|+1=d(x,z)$（若$x\neq z$）或$\|x-z\|+1\geq d(x,z)$（若$x=z$），同理$\|z-y\|+1\geq d(z,y)$，故：
$\|x-z\|+\|z-y\|+1\leq d(x,z)+d(z,y)$
综上$d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$，三角不等式成立，因此$d$是距离。

二、证明$d$不能由范数导出

若$d$由范数$\|\cdot\|_*$导出，则对任意$\alpha\in\mathbb{K},x\in X$需满足相似性条件：
$d(\alpha x,0)=|\alpha|d(x,0)$

矛盾推导：

取$\alpha\neq 0,x\neq 0$，则：
$d(\alpha x,0)=\|\alpha x\|_*+1=|\alpha|\|x\|_*+1\quad (\text{范数齐次性})$
$|\alpha|d(x,0)=|\alpha|(\|x\|_*+1)=|\alpha|\|x\|_*+|\alpha|$
当$|\alpha|\neq 1$时（如\(\alpha=2)： \[ |\alpha|\|x\|_*+1\neq |\alpha|\|x\|_*+|\alpha| \ $1$
即相似性条件不成立，故$d$不能由范数导出。