题目

26.（填空题，5.0分）考察计算三个矩阵A_1，A_2，A_3连乘的例子，设这3个矩阵的维数分别为10×100，100×5和5×50，若按照加括号的方式((A_1A_2)A_3)计算，3个矩阵连乘需要的数乘次数为____。若按照加括号的方式(A_1(A_2A_3)计算，3个矩阵连乘需要的数乘次数为____。

26.（填空题，5.0分） 考察计算三个矩阵$A_1$，$A_2$，$A_3$连乘的例子，设这3个矩阵的维数分别为10×100，100×5和5×50，若按照加括号的方式$((A_1A_2)A_3)$计算，3个矩阵连乘需要的数乘次数为____。若按照加括号的方式$(A_1(A_2A_3)$计算，3个矩阵连乘需要的数乘次数为____。

题目解答

答案

为了解决这个问题，我们需要了解矩阵乘法的基本规则和计算复杂度。两个矩阵相乘时，如果矩阵A的维度是m×n，矩阵B的维度是n×p，那么它们相乘的结果矩阵C的维度将是m×p。计算这个乘积需要m×n×p次数乘。 题目中给出了三个矩阵$A_1$、$A_2$、$A_3$的维度分别为10×100、100×5和5×50。我们需要计算两种不同的括号加法方式下的数乘次数。 ### 第一种方式：$((A_1A_2)A_3)$ 1. **计算$A_1A_2$**： - 矩阵$A_1$的维度是10×100 - 矩阵$A_2$的维度是100×5 - 结果矩阵的维度是10×5 - 数乘次数为：10×100×5 = 5000 2. **计算$(A_1A_2)A_3$**： - 矩阵$(A_1A_2)$的维度是10×5 - 矩阵$A_3$的维度是5×50 - 结果矩阵的维度是10×50 - 数乘次数为：10×5×50 = 2500 3. **总数乘次数**： - 总数乘次数为：5000 + 2500 = 7500 ### 第二种方式：$(A_1(A_2A_3))$ 1. **计算$A_2A_3$**： - 矩阵$A_2$的维度是100×5 - 矩阵$A_3$的维度是5×50 - 结果矩阵的维度是100×50 - 数乘次数为：100×5×50 = 25000 2. **计算$A_1(A_2A_3)$**： - 矩阵$A_1$的维度是10×100 - 矩阵$(A_2A_3)$的维度是100×50 - 结果矩阵的维度是10×50 - 数乘次数为：10×100×50 = 50000 3. **总数乘次数**： - 总数乘次数为：25000 + 50000 = 75000 ### 最终答案 - 按照加括号的方式$((A_1A_2)A_3)$计算，3个矩阵连乘需要的数乘次数为**7500**。 - 按照加括号的方式$(A_1(A_2A_3))$计算，3个矩阵连乘需要的数乘次数为**75000**。

解析

矩阵连乘的数乘次数计算是本题的核心考查点。关键在于理解矩阵相乘的维度规则和计算复杂度公式。两个矩阵相乘时，若第一个矩阵的维度为$m \times n$，第二个矩阵为$n \times p$，则乘积矩阵的维度为$m \times p$，且需要的数乘次数为$m \times n \times p$。对于多个矩阵连乘的情况，不同的加括号方式会影响中间结果的维度，从而改变总计算次数。

本题需分别计算两种括号方式下的总次数：

  1. $((A_1A_2)A_3)$：先计算$A_1A_2$，再将其结果与$A_3$相乘。
  2. $(A_1(A_2A_3))$：先计算$A_2A_3$，再将其结果与$A_1$相乘。

第一种方式：$((A_1A_2)A_3)$

  1. 计算$A_1A_2$

    • $A_1$的维度为$10 \times 100$，$A_2$的维度为$100 \times 5$。
    • 数乘次数为：$10 \times 100 \times 5 = 5000$。
    • 结果矩阵的维度为$10 \times 5$。

  2. 计算$(A_1A_2)A_3$

    • 中间结果矩阵为$10 \times 5$，$A_3$的维度为$5 \times 50$。
    • 数乘次数为：$10 \times 5 \times 50 = 2500$。

  3. 总数乘次数

    • 总次数为：$5000 + 2500 = 7500$。

第二种方式：$(A_1(A_2A_3))$

  1. 计算$A_2A_3$

    • $A_2$的维度为$100 \times 5$，$A_3$的维度为$5 \times 50$。
    • 数乘次数为：$100 \times 5 \times 50 = 25000$。
    • 结果矩阵的维度为$100 \times 50$。

  2. 计算$A_1(A_2A_3)$

    • $A_1$的维度为$10 \times 100$，中间结果矩阵为$100 \times 50$。
    • 数乘次数为：$10 \times 100 \times 50 = 50000$。

  3. 总数乘次数

    • 总次数为：$25000 + 50000 = 75000$。