题目

9.设3阶方阵A=(a_(1),a_(2),a_(3))，其中a_(1),a_(2),a_(3)为三个列向量，则detA=（）.A. |(a_(3),a_(2),a_(1))|;B. |(-a_(3),a_(2),-a_(1))|;C. |(a_(1)+a_(2),a_(2)+a_(3),a_(3)+a_(1))|;D. |(a_(1),a_(1)+a_(2),a_(1)+a_(2)+a_(3))|.

9.设3阶方阵$A=(a_{1},a_{2},a_{3})$，其中$a_{1},a_{2},a_{3}$为三个列向量，则detA=（）.

A. $|(a_{3},a_{2},a_{1})|$;

B. $|(-a_{3},a_{2},-a_{1})|$;

C. $|(a_{1}+a_{2},a_{2}+a_{3},a_{3}+a_{1})|$;

D. $|(a_{1},a_{1}+a_{2},a_{1}+a_{2}+a_{3})|$.

题目解答

答案

D. $|(a_{1},a_{1}+a_{2},a_{1}+a_{2}+a_{3})|$.

解析

本题考查三阶行列式的性质，特别是列交换、列线性组合对行列式值的影响。解题核心在于：

  1. 列交换对行列式符号的影响：交换两列，行列式变号；
  2. 列线性组合的行列式展开：行列式对列向量是线性的，可通过列变换化简；
  3. 列操作的组合应用：通过列减法消去冗余项，还原原始行列式结构。

选项分析

选项A：$|(a_3, a_2, a_1)|$

  • 列交换影响：将原矩阵列顺序从$(a_1, a_2, a_3)$变为$(a_3, a_2, a_1)$，需交换第1列与第3列，行列式符号改变。
  • 结论：$|(a_3, a_2, a_1)| = -\det A \neq \det A$。

选项B：$|(-a_3, a_2, -a_1)|$

  • 列符号变化：第1列乘以$-1$，第3列乘以$-1$，行列式整体乘以$(-1)^2 = 1$；
  • 列交换影响：第1列与第3列交换，行列式符号改变。
  • 结论：$|(-a_3, a_2, -a_1)| = -\det A \neq \det A$。

选项C：$|(a_1 + a_2, a_2 + a_3, a_3 + a_1)|$

  • 列线性组合展开：展开后包含$\det A$的倍数项，具体计算得$2\det A$。
  • 结论：$|(a_1 + a_2, a_2 + a_3, a_3 + a_1)| = 2\det A \neq \det A$。

选项D：$|(a_1, a_1 + a_2, a_1 + a_2 + a_3)|$

  • 列减法化简：
    1. 第2列减第1列：$a_1 + a_2 - a_1 = a_2$；
    2. 第3列减第2列：$a_1 + a_2 + a_3 - (a_1 + a_2) = a_3$；
    3. 化简后行列式为$|(a_1, a_2, a_3)| = \det A$。
  • 结论：$|(a_1, a_1 + a_2, a_1 + a_2 + a_3)| = \det A$。