29. 求不定积分int (x-sin ^2x)cos xdx.
题目解答
答案
将原积分拆分为两部分：
$\int (x - \sin^2 x) \cos x \, dx = \int x \cos x \, dx - \int \sin^2 x \cos x \, dx.$
第一部分：使用分部积分法，设 $u = x$，$dv = \cos x \, dx$，则 $du = dx$，$v = \sin x$，得
$\int x \cos x \, dx = x \sin x + \cos x + C_1.$
第二部分：使用换元积分法，设 $u = \sin x$，则 $du = \cos x \, dx$，得
$\int \sin^2 x \cos x \, dx = \frac{\sin^3 x}{3} + C_2.$
合并结果：
$\int (x - \sin^2 x) \cos x \, dx = x \sin x + \cos x - \frac{\sin^3 x}{3} + C,$
其中 $C = C_1 - C_2$ 为任意常数。
答案：$\boxed{x \sin x + \cos x - \frac{\sin^3 x}{3} + C}$
解析
本题主要考察不定积分的计算方法，包括分部积分法和换元积分法的综合应用。
步骤1：拆分积分
原积分可拆分为两个部分：
$\int (x - \sin^2 x) \cos x \, dx = \int x \cos x \, dx - \int \sin^2 x \cos x \, dx$
步骤2：计算第一部分$\int x \cos x \, dx$（分部积分法）
分部积分公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
- 设$u = x$，则$du = dx$
- 设$dv = \cos x \, dx$，则$v = \sin x$
代入公式：
$\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + C_1$
（注：$\int \sin x \, dx = -\cos x$，故$-\int \sin x \, dx = \cos x$）
步骤3：计算第二部分$\int \sin^2 x \cos x \, dx$（换元积分法）
设$u = \sin x$，则$du = \cos x \, dx$，积分变为：
$\int u^2 \, du = \frac{u^3}{3} + C_2 = \frac{\sin^3 x}{3} + C_2$
步骤4：合并结果
将两部分结果相减，并合并常数项$C = C_1 - C_2$：
$\int (x - \sin^2 x) \cos x \, dx = x \sin x + \cos x - \frac{\sin^3 x}{3} + C$