幂级数 sum_(n=0)^inftycos(in)(z-1)^n的收敛半径 ()。 A. eB. -eC. e^-1 D. -e^-1

考查要点：本题主要考查幂级数收敛半径的计算，涉及复数余弦函数的变形及根值法的应用。

解题核心思路：

1. 将复数余弦函数转换为双曲函数：利用欧拉公式，将$\cos(in)$转化为双曲余弦函数$\cosh(n)$。
2. 分析通项增长性：当$n$较大时，$\cosh(n) \approx \frac{e^n}{2}$，说明通项$a_n$呈指数增长。
3. 应用根值法求收敛半径：通过计算$\limsup |a_n|^{1/n}$，结合极限结果求倒数得到收敛半径。

破题关键点：

• 正确变形$\cos(in)$是解题基础，需注意复数余弦与双曲余弦的关系。
• 根值法的极限计算需关注通项的主导增长项，忽略低阶影响。

步骤1：变形复数余弦函数

根据欧拉公式，复数余弦函数可表示为：
$\cos(in) = \frac{e^{i(i n)} + e^{-i(i n)}}{2} = \frac{e^{-n} + e^{n}}{2} = \cosh(n).$

步骤2：分析通项增长性

当$n$较大时，$\cosh(n) \approx \frac{e^n}{2}$，因此通项$a_n = \cos(in) \approx \frac{e^n}{2}$。

步骤3：应用根值法求收敛半径

计算极限：
$\lim_{n \to \infty} |a_n|^{1/n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{e^n}{2} \right)^{1/n} = \lim_{n \to \infty} e \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{1/n} = e \cdot 1 = e.$
收敛半径为该极限的倒数：
$R = \frac{1}{e} = e^{-1}.$