题目

设α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量,且A的秩-|||-R(A)=3 , (alpha )_(1)=((1,2,3,4))^T, (alpha )_(2)+(alpha )_(3)=((0,1,2,3))^T, k为任意常数,则线性方-|||-程组 Ax=b 的通解为 ()A.设α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量,且A的秩-|||-R(A)=3 , (alpha )_(1)=((1,2,3,4))^T, (alpha )_(2)+(alpha )_(3)=((0,1,2,3))^T, k为任意常数,则线性方-|||-程组 Ax=b 的通解为 ()B.设α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量,且A的秩-|||-R(A)=3 , (alpha )_(1)=((1,2,3,4))^T, (alpha )_(2)+(alpha )_(3)=((0,1,2,3))^T, k为任意常数,则线性方-|||-程组 Ax=b 的通解为 ()C.设α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量,且A的秩-|||-R(A)=3 , (alpha )_(1)=((1,2,3,4))^T, (alpha )_(2)+(alpha )_(3)=((0,1,2,3))^T, k为任意常数,则线性方-|||-程组 Ax=b 的通解为 ()D.设α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量,且A的秩-|||-R(A)=3 , (alpha )_(1)=((1,2,3,4))^T, (alpha )_(2)+(alpha )_(3)=((0,1,2,3))^T, k为任意常数,则线性方-|||-程组 Ax=b 的通解为 ()

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题目解答

答案

C. $x=k{(2,3,4,5)}^{T}+{\alpha }_{1}$

解析

步骤 1：确定齐次方程组的解空间
由于A的秩为3，且方程组是四元的，因此齐次方程组Ax=0的解空间的维数为4-3=1。这意味着齐次方程组的解空间由一个向量生成。

步骤 2：确定齐次方程组的解向量
由于α1, α2, α3是Ax=b的解，那么α2-α1和α3-α1是Ax=0的解。因此，α2-α1和α3-α1是齐次方程组的解向量。由于齐次方程组的解空间的维数为1，所以α2-α1和α3-α1是线性相关的。我们可以通过α2+α3来确定一个解向量。由于α2+α3=(0,1,2,3)^T，我们可以得到α2-α1和α3-α1的线性组合，即(α2+α3)-2α1=(0,1,2,3)^T-2(1,2,3,4)^T=(-2,-3,-4,-5)^T。因此，齐次方程组的解向量为(-2,-3,-4,-5)^T，或者等价地，(2,3,4,5)^T。

步骤 3：确定非齐次方程组的通解
非齐次方程组的通解为齐次方程组的通解加上非齐次方程组的一个特解。由于α1是Ax=b的一个解，因此非齐次方程组的通解为x=k(2,3,4,5)^T+α1，其中k为任意常数。