题目
15.计算 iint 6(x)^2(e)^1-(y^2)dxdy, 其中D是以(0,0 ),(1,1),(0,1)为顶点的三角形.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域D
D是以(0,0), (1,1), (0,1)为顶点的三角形，因此积分区域D可以表示为$0 \leq x \leq 1$和$x \leq y \leq 1$。
步骤 2：交换积分次序
原积分可以写为$\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} 6x^2e^{1-y^2} dy dx$。为了简化计算，我们交换积分次序，得到$\int_{0}^{1} \int_{0}^{y} 6x^2e^{1-y^2} dx dy$。
步骤 3：计算内层积分
计算内层积分$\int_{0}^{y} 6x^2e^{1-y^2} dx$，得到$2y^3e^{1-y^2}$。
步骤 4：计算外层积分
计算外层积分$\int_{0}^{1} 2y^3e^{1-y^2} dy$，使用分部积分法，设$u = y^2$，$dv = 2ye^{1-y^2} dy$，得到$-y^2e^{1-y^2} - \int_{0}^{1} -2ye^{1-y^2} dy$。
步骤 5：计算剩余积分
计算剩余积分$\int_{0}^{1} -2ye^{1-y^2} dy$，得到$e^{1-y^2}$，代入上下限得到$e-1$。
步骤 6：计算最终结果
将步骤4和步骤5的结果相加，得到$-1-(1-e) = e-2$。
D是以(0,0), (1,1), (0,1)为顶点的三角形，因此积分区域D可以表示为$0 \leq x \leq 1$和$x \leq y \leq 1$。
步骤 2：交换积分次序
原积分可以写为$\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} 6x^2e^{1-y^2} dy dx$。为了简化计算，我们交换积分次序，得到$\int_{0}^{1} \int_{0}^{y} 6x^2e^{1-y^2} dx dy$。
步骤 3：计算内层积分
计算内层积分$\int_{0}^{y} 6x^2e^{1-y^2} dx$，得到$2y^3e^{1-y^2}$。
步骤 4：计算外层积分
计算外层积分$\int_{0}^{1} 2y^3e^{1-y^2} dy$，使用分部积分法，设$u = y^2$，$dv = 2ye^{1-y^2} dy$，得到$-y^2e^{1-y^2} - \int_{0}^{1} -2ye^{1-y^2} dy$。
步骤 5：计算剩余积分
计算剩余积分$\int_{0}^{1} -2ye^{1-y^2} dy$，得到$e^{1-y^2}$，代入上下限得到$e-1$。
步骤 6：计算最终结果
将步骤4和步骤5的结果相加，得到$-1-(1-e) = e-2$。