20.(单选题,5.0分)-|||-(int )_(0)^3(e)^-sqrt (1-x)dx=( ) () 。-|||-A .(e)^-1-6(e)^-2 I-|||-B .(e)^-1+4(e)^-2-|||-C (e)^-1-4(e)^-2-|||-D .(e)^-1+6(e)^-2 ;

考查要点：本题主要考查定积分的计算，涉及换元法和分部积分法的综合应用。

解题核心思路：

1. 换元法：通过令$t = \sqrt{1+x}$，将原积分转化为关于$t$的积分，简化被积函数。
2. 分部积分法：处理积分中的$t e^{-t}$项，通过分部积分逐步化简。
3. 代入上下限：注意换元后积分上下限的变化，并正确代入计算。

破题关键点：

• 正确选择换元变量，将根号部分设为新变量$t$，简化积分形式。
• 分部积分时合理选择$u$和$dv$，确保计算过程顺利进行。
• 符号与代数运算的准确性，避免计算错误。

步骤1：换元法简化积分
令$t = \sqrt{1+x}$，则$x = t^2 - 1$，$dx = 2t \, dt$。
当$x = 0$时，$t = 1$；当$x = 3$时，$t = 2$。
原积分变为：
$\int_{0}^{3} e^{-\sqrt{1+x}} \, dx = \int_{1}^{2} e^{-t} \cdot 2t \, dt = 2 \int_{1}^{2} t e^{-t} \, dt.$

步骤2：分部积分法计算$\int t e^{-t} \, dt$
设$u = t$，则$du = dt$；设$dv = e^{-t} \, dt$，则$v = -e^{-t}$。
根据分部积分公式$\int u \, dv = uv - \int v \, du$：
$\begin{aligned}\int t e^{-t} \, dt &= -t e^{-t} + \int e^{-t} \, dt \\&= -t e^{-t} - e^{-t} + C.\end{aligned}$

步骤3：代入上下限并计算
将上下限代入分部积分结果：
$\begin{aligned}\int_{1}^{2} t e^{-t} \, dt &= \left[ -t e^{-t} - e^{-t} \right]_{1}^{2} \\&= \left( -2 e^{-2} - e^{-2} \right) - \left( -1 e^{-1} - e^{-1} \right) \\&= -3 e^{-2} + 2 e^{-1}.\end{aligned}$

步骤4：整理最终结果
原积分结果为：
$2 \cdot (-3 e^{-2} + 2 e^{-1}) = 4 e^{-1} - 6 e^{-2}.$