12. (5.0分) 设二维随机变量(X,Y)服从区域G上的均匀分布，其中G由直线x=2,x=-2,y=1,y=-1围成，则(X,Y)的联合概率密度函数为 f(x,y)=}(1)/(8),(x,y)in G0,其他A. 对B. 错

关键知识点：二维均匀分布的联合概率密度函数形式为常数，且在定义域上的积分等于1。
解题核心：计算区域$G$的面积，验证密度函数是否为面积的倒数，并通过积分验证总概率是否为1。
破题关键：明确区域$G$的形状（长方形），正确计算其面积，进而推导密度函数的正确形式。

步骤1：确定区域$G$的形状与面积

区域$G$由直线$x=2$、$x=-2$、$y=1$、$y=-1$围成，是一个长方形。

• 长度：$x$的范围为$[-2, 2]$，长度为$2 - (-2) = 4$。
• 宽度：$y$的范围为$[-1, 1]$，宽度为$1 - (-1) = 2$。
• 面积：$4 \times 2 = 8$。

步骤2：推导均匀分布的密度函数

均匀分布的密度函数在$G$内为常数$\frac{1}{\text{面积}}$，即$\frac{1}{8}$，其他区域为0。题目给出的$f(x,y)$与此一致。

步骤3：验证积分是否为1

计算$f(x,y)$在$G$上的二重积分：

1. 对$y$积分：
   $\int_{-1}^{1} \frac{1}{8} \, dy = \frac{1}{8} \cdot (1 - (-1)) = \frac{1}{4}.$
2. 对$x$积分：
   $\int_{-2}^{2} \frac{1}{4} \, dx = \frac{1}{4} \cdot (2 - (-2)) = 1.$
   总积分为1，符合概率密度函数的性质。