设矩阵 A=⎡⎣⎢1 −1 12 4 x−3 −3 5⎤⎦⎥, 且 A 的特征值为 λ1=6,λ2=λ3=2( 二重 ), 如果有 3 个线性无关的特征向量 , 则 x=() A. −2 B. 2 C. −4 D. 4

步骤 1：确定特征值和特征向量的关系
根据题意，矩阵 A 的特征值为 λ1=6, λ2=λ3=2（二重），且有 3 个线性无关的特征向量。这意味着矩阵 A 可以对角化，且特征值 λ2=λ3=2 对应的特征向量有两个线性无关的向量。

步骤 2：计算矩阵 2E-A
为了找到特征值 λ=2 对应的特征向量，我们需要计算矩阵 2E-A，其中 E 是单位矩阵。计算如下：
2E−A=
2
0
0
0
2
0
0
0
2
−
1
−1
1
2
4
x
−3
−3
5
=
1
1
−1
−2
−2
−x
3
3
−3

步骤 3：简化矩阵 2E-A
为了找到矩阵 2E-A 的秩，我们需要将其简化为阶梯形矩阵。简化过程如下：
1
1
−1
−2
−2
−x
3
3
−3
→
1
1
−1
0
0
−x−2
0
0
0
步骤 4：确定矩阵 2E-A 的秩
根据题意，矩阵 2E-A 的秩为 1，因为特征值 λ=2 对应的特征向量有两个线性无关的向量。因此，矩阵 2E-A 的秩为 1，意味着 -x-2=0。

步骤 5：求解 x
根据步骤 4 的结果，我们有 -x-2=0，解得 x=-2。