题目
(6) ^2y'+3xy=sin 2x 。
题目解答
答案
$$y = -\frac{1}{2x^2}\cos 2x + \frac{1}{4x^3}\sin 2x + \frac{C}{x^3}$$
解析
步骤 1：识别方程类型
给定的方程 ${x}^{2}y'+3xy=\sin 2x$ 是一个一阶线性非齐次微分方程。我们可以将其重写为标准形式 $y' + P(x)y = Q(x)$，其中 $P(x) = \frac{3}{x}$，$Q(x) = \frac{\sin 2x}{x^2}$。
步骤 2：求解齐次方程
首先，我们求解对应的齐次方程 $y' + \frac{3}{x}y = 0$。这是一个可分离变量的方程，分离变量后得到 $\frac{dy}{y} = -\frac{3}{x}dx$。积分两边得到 $\ln|y| = -3\ln|x| + C$，即 $y = \frac{C}{x^3}$。
步骤 3：求解非齐次方程
对于非齐次方程，我们使用常数变易法。设 $y = u(x)\frac{1}{x^3}$，代入原方程得到 $u'(x) = x^2\sin 2x$。积分得到 $u(x) = -\frac{1}{2x^2}\cos 2x + \frac{1}{4x^3}\sin 2x + C$。因此，$y = -\frac{1}{2x^2}\cos 2x + \frac{1}{4x^3}\sin 2x + \frac{C}{x^3}$。
给定的方程 ${x}^{2}y'+3xy=\sin 2x$ 是一个一阶线性非齐次微分方程。我们可以将其重写为标准形式 $y' + P(x)y = Q(x)$，其中 $P(x) = \frac{3}{x}$，$Q(x) = \frac{\sin 2x}{x^2}$。
步骤 2：求解齐次方程
首先，我们求解对应的齐次方程 $y' + \frac{3}{x}y = 0$。这是一个可分离变量的方程，分离变量后得到 $\frac{dy}{y} = -\frac{3}{x}dx$。积分两边得到 $\ln|y| = -3\ln|x| + C$，即 $y = \frac{C}{x^3}$。
步骤 3：求解非齐次方程
对于非齐次方程，我们使用常数变易法。设 $y = u(x)\frac{1}{x^3}$，代入原方程得到 $u'(x) = x^2\sin 2x$。积分得到 $u(x) = -\frac{1}{2x^2}\cos 2x + \frac{1}{4x^3}\sin 2x + C$。因此，$y = -\frac{1}{2x^2}\cos 2x + \frac{1}{4x^3}\sin 2x + \frac{C}{x^3}$。