题目

3 求曲线r=f(t)=(t-sin t)i+(1-cos t)j+(4sin(t)/(2))k在与t_(0)=(pi)/(2)相应的点处的切线及法平面方程.

3 求曲线r=f(t)=(t-sin t)i+(1-cos t)j+$\left(4\sin\frac{t}{2}\right)k$在与$t_{0}=\frac{\pi}{2}$相应的点处的切线及法平面方程.

题目解答

答案

  1. 求点的坐标：
    当 $ t_0 = \frac{\pi}{2} $ 时，
    $\mathbf{r}\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(\frac{\pi}{2} - 1, 1, 2\sqrt{2}\right)$

  2. 求切向量：
    $\mathbf{r}'(t) = (1 - \cos t, \sin t, 2\cos\frac{t}{2})$
    代入 $ t_0 = \frac{\pi}{2} $，得
    $\mathbf{r}'\left(\frac{\pi}{2}\right) = (1, 1, \sqrt{2})$

  3. 切线方程：
    $\boxed{\frac{x - \left(\frac{\pi}{2} - 1\right)}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}$

  4. 法平面方程：
    $\boxed{x + y + \sqrt{2}z = \frac{\pi}{2} + 4}$
    （或等价表示：$ x + y + \sqrt{2}z - \frac{\pi}{2} - 4 = 0 $）