一粒子在一维势场 U(x)= ) infty , xlt 0 0, 0leqslant xleqslant a infty , xgt a . 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

考查要点：本题考察一维无限深势阱中粒子的定态问题，涉及时间独立的薛定谔方程的求解、边界条件的应用以及波函数的归一化。

解题核心思路：

1. 区域划分：根据势场形式，将空间分为三个区域，确定波函数在无限势区（x<0和x>a）必须为零。
2. 中间区域方程求解：在势阱内部（0≤x≤a），解对应的二阶微分方程，得到通解形式。
3. 边界条件应用：利用波函数连续性和归一化条件，确定通解中的系数和量子数。
4. 能级表达式：通过量子化条件推导能量的量子化形式。

破题关键点：

• 波函数在无限势区为零是隐含条件。
• 边界条件（x=0和x=a处波函数为零）决定正弦解的形式。
• 归一化积分确定系数，确保波函数的模方积分为1。

区域划分与方程形式

1. x < 0 和 x > a：势能为无穷大，波函数 $\psi(x)=0$。
2. 0 ≤ x ≤ a：势能为0，方程为：
   $-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = E \psi(x)$
   令 $k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2}$，方程化简为：
   $\frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + k^2 \psi(x) = 0$

解的通式与边界条件

1. 通解形式：
   $\psi(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx)$
2. 边界条件：
   • x=0：$\psi(0)=0 \implies B=0$，解简化为 $\psi(x)=A \sin(kx)$。
   • x=a：$\psi(a)=0 \implies \sin(ka)=0 \implies ka = n\pi$（$n=1,2,3,\dots$）。

能级与归一化

1. 量子数与能级：
   $k = \frac{n\pi}{a}, \quad E_n = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2ma^2}$
2. 归一化条件：
   $\int_0^a |\psi(x)|^2 dx = 1 \implies A = \sqrt{\frac{2}{a}}$

最终解

• 波函数：
  $\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right)$
• 能级：
  $E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2ma^2} \quad (n=1,2,3,\dots)$