题目

9 填空 (10分) 设A是三阶方阵，且|A|=-3. 若交换A的第1行和第2行得矩阵B，则|BA^*|=().

9 填空 (10分) 设A是三阶方阵，且$|A|=-3$. 若交换A的第1行和第2行得矩阵B，则$|BA^{*}|=()$.

题目解答

答案

设 $ A $ 是三阶方阵，且 $ |A| = -3 $。交换 $ A $ 的第1行和第2行得到矩阵 $ B $。根据行列式性质，交换两行会改变行列式的符号，因此 $ |B| = -|A| = 3 $。 由伴随矩阵的性质，$ |A^*| = |A|^{n-1} $，其中 $ n $ 为矩阵的阶数。对于三阶矩阵，$ |A^*| = |A|^2 = (-3)^2 = 9 $。 利用行列式乘法法则，$ |BA^*| = |B| \cdot |A^*| = 3 \times 9 = 27 $。 答案：27

解析

考查要点：本题主要考查行列式的性质、伴随矩阵的性质以及行列式的乘法法则。

解题核心思路：

  1. 交换两行对行列式的影响：交换矩阵的两行，行列式符号改变。
  2. 伴随矩阵的行列式公式：对于$n$阶矩阵$A$，有$|A^*| = |A|^{n-1}$。
  3. 行列式的乘积性质：$|MN| = |M| \cdot |N|$。

破题关键点：

  • 通过交换两行确定$|B|$的值。
  • 利用伴随矩阵的行列式公式计算$|A^*|$。
  • 结合行列式的乘积性质求出最终结果。

步骤1：求矩阵$B$的行列式
交换矩阵$A$的第1行和第2行得到矩阵$B$，根据行列式的性质，交换两行会改变行列式的符号，因此：
$|B| = -|A| = -(-3) = 3.$

步骤2：求伴随矩阵$A^*$的行列式
对于三阶矩阵$A$，伴随矩阵的行列式满足：
$|A^*| = |A|^{n-1} = |A|^{3-1} = (-3)^2 = 9.$

步骤3：计算$|BA^*|$
根据行列式的乘积性质：
$|BA^*| = |B| \cdot |A^*| = 3 \times 9 = 27.$