题目
设A为3阶矩阵,α1 ,α2,α3为线性无关的向量组.若 (a)_(1)=2(a)_(1)+(a)_(2)+(a)_(3) (a)_(2)=(a)_(2)+2(a)_(3),-|||-(a)_(3)=-(a)_(2)+(a)_(3), 则A的实特征值为 __
题目解答
答案
解析
步骤 1：构造矩阵
根据题意，我们有：
$A{a}_{1}=2{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}$
$A{a}_{2}={a}_{2}+2{a}_{3}$
$A{a}_{3}=-{a}_{2}+{a}_{3}$
将这些方程写成矩阵形式，我们得到：
$A\left(\begin{matrix} {a}_{1}& {a}_{2}& {a}_{3}\end{matrix} \right)=\left(\begin{matrix} {a}_{1}& {a}_{2}& {a}_{3}\end{matrix} \right)\left(\begin{matrix} 2& 0& 0\\ 1& 1& -1\\ 1& 2& 1\end{matrix} \right)$
步骤 2：定义矩阵P
令 $P=\left(\begin{matrix} {a}_{1}& {a}_{2}& {a}_{3}\end{matrix} \right)$，因为α1,α2,α3线性无关，所以P可逆。
步骤 3：计算P^(-1)AP
由步骤1和步骤2，我们有：
$P^{-1}AP=\left(\begin{matrix} 2& 0& 0\\ 1& 1& -1\\ 1& 2& 1\end{matrix} \right)$
步骤 4：求特征值
矩阵A和矩阵P^(-1)AP具有相同的特征值，因此我们求解矩阵P^(-1)AP的特征值。
特征多项式为：
$det\left(\begin{matrix} \lambda-2& 0& 0\\ -1& \lambda-1& 1\\ -1& -2& \lambda-1\end{matrix} \right)=0$
计算行列式，我们得到：
$(\lambda-2)[(\lambda-1)^2-(-2)(1)]=(\lambda-2)(\lambda^2-2\lambda+3)=0$
解得特征值为：
$\lambda=2$ 或 $\lambda^2-2\lambda+3=0$
对于 $\lambda^2-2\lambda+3=0$，其判别式为负，因此没有实数解。
根据题意，我们有：
$A{a}_{1}=2{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}$
$A{a}_{2}={a}_{2}+2{a}_{3}$
$A{a}_{3}=-{a}_{2}+{a}_{3}$
将这些方程写成矩阵形式，我们得到：
$A\left(\begin{matrix} {a}_{1}& {a}_{2}& {a}_{3}\end{matrix} \right)=\left(\begin{matrix} {a}_{1}& {a}_{2}& {a}_{3}\end{matrix} \right)\left(\begin{matrix} 2& 0& 0\\ 1& 1& -1\\ 1& 2& 1\end{matrix} \right)$
步骤 2：定义矩阵P
令 $P=\left(\begin{matrix} {a}_{1}& {a}_{2}& {a}_{3}\end{matrix} \right)$，因为α1,α2,α3线性无关，所以P可逆。
步骤 3：计算P^(-1)AP
由步骤1和步骤2，我们有：
$P^{-1}AP=\left(\begin{matrix} 2& 0& 0\\ 1& 1& -1\\ 1& 2& 1\end{matrix} \right)$
步骤 4：求特征值
矩阵A和矩阵P^(-1)AP具有相同的特征值，因此我们求解矩阵P^(-1)AP的特征值。
特征多项式为：
$det\left(\begin{matrix} \lambda-2& 0& 0\\ -1& \lambda-1& 1\\ -1& -2& \lambda-1\end{matrix} \right)=0$
计算行列式，我们得到：
$(\lambda-2)[(\lambda-1)^2-(-2)(1)]=(\lambda-2)(\lambda^2-2\lambda+3)=0$
解得特征值为：
$\lambda=2$ 或 $\lambda^2-2\lambda+3=0$
对于 $\lambda^2-2\lambda+3=0$，其判别式为负，因此没有实数解。