设A为3阶矩阵,α1 ,α2,α3为线性无关的向量组.若 (a)_(1)=2(a)_(1)+(a)_(2)+(a)_(3) (a)_(2)=(a)_(2)+2(a)_(3),-|||-(a)_(3)=-(a)_(2)+(a)_(3), 则A的实特征值为 __

考查要点：本题主要考查矩阵的特征值求解，涉及矩阵的相似变换和特征多项式的计算。

解题核心思路：

1. 构造矩阵表示：利用给定的向量组作为基，将矩阵$A$的作用表示为基下的坐标矩阵。
2. 相似矩阵性质：通过基变换矩阵$P$，将原矩阵$A$与构造的矩阵相似，从而特征值相同。
3. 特征方程求解：计算构造矩阵的特征多项式，求出实特征值。

破题关键点：

• 正确构造矩阵：根据$A$作用在基向量上的结果，写出矩阵的列向量。
• 行列式展开技巧：利用分块矩阵或第一行展开简化行列式的计算。

构造矩阵表示

设基向量组为$P=(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$，根据题意：
$A\alpha_1 = 2\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3, \quad A\alpha_2 = \alpha_2 + 2\alpha_3, \quad A\alpha_3 = -\alpha_2 + \alpha_3$
矩阵$A$在基$P$下的表示为：
$B = \begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\1 & 1 & -1 \\1 & 2 & 1\end{pmatrix}$

相似矩阵与特征值

由于$P$可逆，$A$与$B$相似，即$P^{-1}AP = B$，因此$A$和$B$具有相同的特征值。

求解特征方程

特征多项式为：
$|\lambda I - B| = \begin{vmatrix}\lambda - 2 & 0 & 0 \\-1 & \lambda - 1 & 1 \\-1 & -2 & \lambda - 1\end{vmatrix}$
按第一行展开：
$(\lambda - 2) \cdot \begin{vmatrix}\lambda - 1 & 1 \\-2 & \lambda - 1\end{vmatrix} = (\lambda - 2)[(\lambda - 1)^2 + 2]$
化简得：
$(\lambda - 2)(\lambda^2 - 2\lambda + 3) = 0$
解得$\lambda = 2$（实根），$\lambda^2 - 2\lambda + 3 = 0$无实根。因此，实特征值为2。