题目

(1)Acap B,Acup B；(2)complement_(U)A,complement_(U)B.<|im_end|>15.设集合A=x| x+3<1，集合B=x| 2x-1<0，求：Acap B，Acup B.

(1)$A\cap B,A\cup B$；(2)$\complement_{U}A,\complement_{U}B$. <|im_end|> 15.设集合$A=\{x| x+3<1\}$，集合$B=\{x| 2x-1<0\}$，求：$A\cap B$，$A\cup B$.

题目解答

答案

(1) 求交集 $A \cap B$ 和并集 $A \cup B$
集合 $A = \{ x \mid x < -2 \}$，集合 $B = \{ x \mid x < \frac{1}{2} \}$。

  • 交集 $A \cap B = \{ x \mid x < -2 \}$（或 $(-\infty, -2)$），因为 $x < -2$ 更严格。
  • 并集 $A \cup B = \{ x \mid x < \frac{1}{2} \}$（或 $(-\infty, \frac{1}{2})$），因为 $x < \frac{1}{2}$ 包含 $x < -2$。

(2) 求补集 $\complement_U A$ 和 $\complement_U B$
全集 $U = \mathbb{R}$。

  • 补集 $\complement_U A = \{ x \mid x \ge -2 \}$（或 $[-2, \infty)$）。
  • 补集 $\complement_U B = \{ x \mid x \ge \frac{1}{2} \}$（或 $[\frac{1}{2}, \infty)$）。

答案：
(1) $A \cap B = (-\infty, -2)$，$A \cup B = (-\infty, \frac{1}{2})$
(2) $\complement_U A = [-2, \infty)$，$\complement_U B = [\frac{1}{2}, \infty)$

$\boxed{\begin{array}{ccccc}A \cap B &=& (-\infty, -2) \\A \cup B &=& (-\infty, \frac{1}{2}) \\\complement_U A &=& [-2, \infty) \\\complement_U B &=& [\frac{1}{2}, \infty)\end{array}}$

解析

考查要点：本题主要考查集合的基本运算，包括交集、并集、补集的求解，以及一元一次不等式的解法。

解题思路：

  1. 解不等式：分别求出集合$A$和集合$B$的解集范围。
  2. 集合运算：
    • 交集：找出同时满足两个集合条件的$x$的范围。
    • 并集：找出满足任意一个集合条件的$x$的范围。
    • 补集：根据全集$U$（默认为实数集$\mathbb{R}$），求出不属于原集合的$x$的范围。

关键点：

  • 严格不等式的解集边界点是否包含等号。
  • 子集关系对交集和并集结果的影响。

第（1）题：求$A \cap B$和$A \cup B$

解集合$A$和$B$的范围

  1. 集合$A$：
    $x + 3 < 1 \implies x < -2$，即$A = (-\infty, -2)$。
  2. 集合$B$：
    $2x - 1 < 0 \implies 2x < 1 \implies x < \frac{1}{2}$，即$B = (-\infty, \frac{1}{2})$。

求交集$A \cap B$

  • 条件分析：$x$需同时满足$x < -2$和$x < \frac{1}{2}$。
  • 结果：$x < -2$更严格，因此$A \cap B = (-\infty, -2)$。

求并集$A \cup B$

  • 条件分析：$x$只需满足$x < -2$或$x < \frac{1}{2}$。
  • 结果：$x < \frac{1}{2}$包含$x < -2$，因此$A \cup B = (-\infty, \frac{1}{2})$。

第（2）题：求$\complement_{U}A$和$\complement_{U}B$

确定全集$U$

  • 默认全集$U = \mathbb{R}$。

求补集$\complement_{U}A$

  • 原集合$A$：$x < -2$。
  • 补集：$x \ge -2$，即$\complement_{U}A = [-2, \infty)$。

求补集$\complement_{U}B$

  • 原集合$B$：$x < \frac{1}{2}$。
  • 补集：$x \ge \frac{1}{2}$，即$\complement_{U}B = [\frac{1}{2}, \infty)$。