题目
设 l: {x=varphi(t) y=psi(t) [P(varphi(t), psi(t))+ Q(varphi(t), psi(t))] psi'(t), dt
设 $l: \left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t)\\ y=\psi(t)\end{array}\right. (\alpha \leq t \leq \beta)$, 那么曲线积分 $\int_{l} P(x, y)\, dx + Q(x, y)\, dy = (\quad)$.
A. $\int_{\alpha}^{\beta} [P(\varphi(t), \psi(t))+ Q(\varphi(t), \psi(t))] \varphi'(t)\, dt$
B. $\int_{\alpha}^{\beta} [P(\varphi(t), \psi(t))\varphi'(t)+ Q(\varphi(t), \psi(t))\psi'(t)] \, dt$
C. $\int_{\alpha}^{\beta} [P(\varphi(t), \psi(t))+ Q(\varphi(t), \psi(t))] \, dt$
D. $\int_{\alpha}^{\beta} [P(\varphi(t), \psi(t))+ Q(\varphi(t), \psi(t))] \psi'(t)\, dt$
题目解答
答案
B. $\int_{\alpha}^{\beta} [P(\varphi(t), \psi(t))\varphi'(t)+ Q(\varphi(t), \psi(t))\psi'(t)] \, dt$
解析
本题考查曲线积分的计算，解题思路是将曲线积分中的$x$、$yy$用参数$t$表示，$dx$、$dy$转化转换为$dt$，然后代入曲线积分式进行计算。
- 已知曲线$l$的参数方程为$\begin{cases}x = \varphi(t)\\y = \psi(t\end{cases}\}$，$\alpha\leq t\leq\beta$。
- 根据求导公式，对$x$、$y$求导可得：
- $dx=\frac{d\varphi(t)}{dt}dt=\varphi'(t)dt$。
- $dy=\frac{d\psi(t)}{dt}dt=\psi'(t)dt$。
- 将$x = \varphi(t)$，$y = \psi(t)$，$dx=\varphi'(t)dt$，$dy=\psi'(t)dt$代入曲线积分$\int_{l}P(x,y)dx + Q Q(x,y)dy$中，可得：
- $\int_{l}P(x,y)dx + Q(x,y)dy=\int_{\alpha}^{\beta}[P(\varphi(t),\psi(t))\varphi'(t)+Q(\varphi(t),\psi(t))\psi'(t)]dt$。