极限lim _(xarrow 0)dfrac (1-sqrt {1-{x)^2}cos x}(1+{x)^2-(cos )^2x}=

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是0/0型不定式的处理方法，常用洛必达法则或泰勒展开。

解题核心思路：

1. 代入$x=0$发现分子分母均为0，属于0/0型不定式，可使用洛必达法则。
2. 对分子分母分别求导，化简后再次代入$x=0$，若仍为0/0型则重复应用洛必达法则，或通过观察分子分母的主部直接化简。

破题关键点：

• 识别不定式类型，选择合适的方法。
• 正确求导并化简表达式，注意代数变形中的近似处理（如泰勒展开）。

步骤1：验证不定式类型
当$x \rightarrow 0$时，分子$1 - \sqrt{1-x^2}\cos x \rightarrow 0$，分母$1 + x^2 - \cos^2 x \rightarrow 0$，属于0/0型不定式，适用洛必达法则。

步骤2：应用洛必达法则
对分子分母分别求导：

• 分子导数：
  $\frac{d}{dx}\left(1 - \sqrt{1-x^2}\cos x\right) = \frac{x \cos x}{\sqrt{1-x^2}} + \sqrt{1-x^2} \sin x$
• 分母导数：
  $\frac{d}{dx}\left(1 + x^2 - \cos^2 x\right) = 2x + 2\cos x \sin x$

步骤3：化简极限表达式
将导数代入原极限：
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x \cos x}{\sqrt{1-x^2}} + \sqrt{1-x^2} \sin x}{2x + 2\cos x \sin x}$
当$x \rightarrow 0$时，$\sqrt{1-x^2} \approx 1$，$\cos x \approx 1$，$\sin x \approx x$，代入得：
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \cdot 1 + 1 \cdot x}{2x + 2 \cdot 1 \cdot x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2x}{4x} = \frac{1}{2}$