题目

15.设z=ln(x^2+y^2)，M_(0)点(1,1)，则f(x,y)在M_(0)处增加最快的方向及减少最快的方向

15.设$z=ln(x^{2}+y^{2})$，$M_{0}$点(1,1)，则f(x,y)在$M_{0}$处增加最快的方向及减少最 快的方向

题目解答

答案

已知函数 $z = f(x, y) = \ln(x^2 + y^2)$，给定点 $M_0(1, 1)$。

根据多元函数微分学的性质，函数在某一点处增加最快的方向是该点处的梯度方向，减少最快的方向是该点处的梯度的反方向。

首先，我们需要求出函数 $f(x, y)$ 的偏导数：
对 $x$ 求偏导：
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2) = \frac{2x}{x^2 + y^2}$

对 $y$ 求偏导：
$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2) = \frac{2y}{x^2 + y^2}$

接下来，计算函数在点 $M_0(1, 1)$ 处的偏导数值：
$\left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(1,1)} = \frac{2 \cdot 1}{1^2 + 1^2} = \frac{2}{2} = 1$
$\left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{(1,1)} = \frac{2 \cdot 1}{1^2 + 1^2} = \frac{2}{2} = 1$

因此，函数在点 $M_0(1, 1)$ 处的梯度向量为：
$\nabla f(1, 1) = \left( \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(1,1)}, \left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{(1,1)} \right) = (1, 1)$

根据梯度的性质：

  1. 增加最快的方向：即梯度向量 $(1, 1)$ 的方向。
  2. 减少最快的方向：即梯度的反方向，也就是向量 $-(1, 1) = (-1, -1)$ 的方向。

结论：
$f(x, y)$ 在 $M_0$ 处增加最快的方向为向量 $(1, 1)$ 的方向（或表示为方向余弦 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$）；
减少最快的方向为向量 $(-1, -1)$ 的方向（或表示为方向余弦 $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$）。

解析

本题考查多元函数梯度的概念及应用。解题的关键在于理解函数在某点处增加最快和减少最快的方向与该点梯度的关系，然后通过求偏导数得到梯度向量。

  1. 明确函数增加和减少最快方向与梯度的关系：
    • 根据多元函数微分学的性质，函数在某一点处增加最快的方向是该点处的梯度方向，减少最快的方向是该点处的梯度的反方向。
  2. 求函数$z = f(x, y) = \ln(x^2 + y^2)$的偏导数：
    • 对$x$求偏导，根据复合函数求导法则$(\ln u)^\prime=\frac{1}{u}\cdot u^\prime$，这里$u = x^2 + y^2$，则$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2)$。
    • 因为$\frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2)=2x$，所以$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y^2}$。
    • 对$y$求偏导，同理可得$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2)$。
    • 由于$\frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2)=2y$，所以$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2y}{x^2 + y^2}$。
  3. 计算函数在点$M_0(1, 1)$处的偏导数值：
    • 将$x = 1$，$y = 1$代入$\frac{\partial f}{\partial x}$，可得$\left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(1,1)} = \frac{2 \cdot 1}{1^2 + 1^2} = \frac{2}{2} = 1$。
    • 将$x = 1$，$y = 1$代入$\frac{\partial f}{\partial y}$，可得$\left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{(1,1)} = \frac{2 \cdot 1}{1^2 + 1^2} = \frac{2}{2} = 1$。
  4. 得到函数在点$M_0(1, 1)$处的梯度向量：
    • 梯度向量$\nabla f(1, 1) = \left( \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(1,1)}, \left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{(1,1)} \right) = (1, 1)$。
  5. 确定增加和减少最快的方向：
    • 增加最快的方向为梯度向量$(1, 1)$的方向，其方向余弦为$(\cos\alpha,\cos\beta)$，其中$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1^2 + 1^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos\beta=\frac{1}{\sqrt{1^2 + 1^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即方向余弦为$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$。
    • 减少最快的方向为梯度的反方向，即向量$-(1, 1) = (-1, -1)$的方向，其方向余弦为$(\cos\alpha,\cos\beta)$，其中$\cos\alpha=\frac{-1}{\sqrt{(-1)^2 + (-1)^2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos\beta=\frac{-1}{\sqrt{(-1)^2 + (-1)^2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，即方向余弦为$(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$。