（5）int dfrac (1)(sqrt {x)+sqrt [4](x)}dx=

考查要点：本题主要考查有理函数的积分，特别是通过变量代换将复杂的根式积分转化为多项式分式积分的能力。

解题核心思路：

1. 观察分母结构：分母包含$\sqrt{x}$和$\sqrt[4]{x}$，即$x^{1/2}$和$x^{1/4}$，两者均为$x^{1/4}$的整数次幂。
2. 选择代换变量：令$u = \sqrt[4]{x}$，将原积分转化为关于$u$的有理分式积分。
3. 简化分式：通过多项式除法或分子拆分，将分式分解为易积分的形式。
4. 回代变量：将积分结果用$x$表示，得到最终答案。

破题关键点：

• 变量代换的选择是关键，需统一根式的次数。
• 分式分解的技巧，将复杂分式拆分为简单分式的和。

变量代换

令$u = \sqrt[4]{x}$，则$x = u^4$，从而$dx = 4u^3 du$。
原积分变为：
$\int \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}} dx = \int \frac{4u^3}{u^2 + u} du.$

化简分式

分子分母约分：
$\frac{4u^3}{u^2 + u} = \frac{4u^3}{u(u + 1)} = \frac{4u^2}{u + 1}.$

分式分解

将分子拆分为与分母相关的表达式：
$\frac{4u^2}{u + 1} = 4 \cdot \frac{u^2 - 1 + 1}{u + 1} = 4 \left( \frac{(u - 1)(u + 1)}{u + 1} + \frac{1}{u + 1} \right) = 4(u - 1) + \frac{4}{u + 1}.$

积分计算

分别积分：
$\int \left[ 4(u - 1) + \frac{4}{u + 1} \right] du = 4 \int (u - 1) du + 4 \int \frac{1}{u + 1} du.$
计算得：
$4 \left( \frac{u^2}{2} - u \right) + 4 \ln |u + 1| + C = 2u^2 - 4u + 4 \ln |u + 1| + C.$

回代变量

将$u = \sqrt[4]{x}$代入，得：
$2(\sqrt[4]{x})^2 - 4\sqrt[4]{x} + 4 \ln |1 + \sqrt[4]{x}| + C = 2\sqrt{x} - 4\sqrt[4]{x} + 4 \ln |1 + \sqrt[4]{x}| + C.$