题目
A表示“五个产品全是合格品”,B表示“五个产品不全是合格品”,C表示“五个产品中恰有一个次品”,则下列结论正确的是().A bar(A)=CB bar(A)=BC bar(B)=CD bar(A)=Bcup C
A表示“五个产品全是合格品”,B表示“五个产品不全是
合格品”,C表示“五个产品中恰有一个次品”,则下列结
论正确的是().
A $\bar{A}=C$
B $\bar{A}=B$
C $\bar{B}=C$
D $\bar{A}=B\cup C$
题目解答
答案
根据题目给出的条件,我们先来分析事件 $A$、$B$、$C$ 的具体含义:
- 事件 $A$ 表示“五个产品全是合格品”。这意味着在抽取的五个产品中,次品的数量为 $0$。
- 事件 $B$ 表示“五个产品不全是合格品”。这意味着在抽取的五个产品中,至少有一个次品(即次品数量为 $1, 2, 3, 4$ 或 $5$)。
- 事件 $C$ 表示“五个产品中恰有一个次品”。这意味着在抽取的五个产品中,次品的数量恰好为 $1$。
接下来,我们分析这些事件之间的关系:
- 事件 $A$(全是合格品,次品数为 $0$)和事件 $B$(不全是合格品,次品数 $\ge 1$)是对立事件。也就是说,事件 $A$ 发生则事件 $B$ 一定不发生,事件 $A$ 不发生则事件 $B$ 一定发生。
- 事件 $C$(恰有一个次品)是事件 $B$(不全是合格品)的一种具体情况,因此事件 $C$ 是事件 $B$ 的子集($C \subset B$)。
现在我们逐一分析选项:
-
选项 A:$\overline{A} = C$
$\overline{A}$ 表示事件 $A$ 的对立事件,即“五个产品不全是合格品”(次品数 $\ge 1$)。而事件 $C$ 是“恰有一个次品”。显然,“不全是合格品”包含了“恰有一个次品”、“恰有两个次品”等多种情况,所以 $\overline{A} \neq C$。该选项错误。 -
选项 B:$\overline{A} = B$
如前所述,事件 $A$ 是“全是合格品”,其对立事件 $\overline{A}$ 就是“不全是合格品”。这与事件 $B$ 的定义完全一致。因此 $\overline{A} = B$。该选项正确。 -
选项 C:$\overline{B} = C$
事件 $B$ 是“不全是合格品”,其对立事件 $\overline{B}$ 就是“全是合格品”,即事件 $A$。所以 $\overline{B} = A$。而事件 $C$ 是“恰有一个次品”,显然 $A \neq C$。该选项错误。 -
选项 D:$\overline{A} = B \cup C$
我们已经知道 $\overline{A} = B$。因为事件 $C$ 是事件 $B$ 的子集($C \subset B$),所以 $B \cup C = B$。因此 $\overline{A} = B \cup C$ 在逻辑上是成立的。但在单项选择题中,选项 B 直接给出了 $\overline{A}$ 和 $B$ 的等价关系,是最直接、最准确的结论。
综合以上推理,最符合题意的结论是 $\overline{A} = B$。
正确答案是:B