若f""(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x 2 +y 2 =2，则函数f(x)在区间(1，2)内()A. 有极值点，无零点。B. 无极值点，有零点。C. 有极值点，有零点。D. 无极值点，无零点。

考查要点：本题综合考查曲率的计算、函数的凹凸性与极值的关系，以及零点存在定理的应用。

解题核心思路：

1. 曲率条件：利用曲率圆方程确定点$(1,1)$处的$f'(1)$和$f''(1)$，结合曲率公式推导。
2. 凹凸性分析：由$f''(x)$不变号可知函数在整个区间内的凹凸性一致，结合曲率圆的凹侧方向确定$f''(x)$的符号。
3. 极值点判断：通过$f'(x)$的单调性分析，判断区间内是否存在导数为零的点。
4. 零点存在性：结合函数在端点的值及连续性，应用中间值定理判断零点存在性。

破题关键点：

• 曲率圆的几何意义：曲率圆的圆心位置反映凹侧方向，切线斜率与主法线斜率的关系。
• 导数与极值的关系：$f''(x)$符号决定$f'(x)$的单调性，从而判断极值点是否存在。
• 函数值的变化趋势：通过泰勒展开或函数凹凸性分析函数值的变化，结合中间值定理判断零点。

1. 确定$f'(1)$和$f''(1)$

曲率圆方程为$x^2 + y^2 = 2$，圆心在原点$(0,0)$，半径$R = \sqrt{2}$。曲率$\kappa = \frac{1}{R} = \frac{1}{\sqrt{2}}$。

曲率公式为：
$\kappa = \frac{|f''(x)|}{\left(1 + [f'(x)]^2\right)^{3/2}}$

在点$(1,1)$处，代入$\kappa = \frac{1}{\sqrt{2}}$：
$\frac{|f''(1)|}{\left(1 + [f'(1)]^2\right)^{3/2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

主法线方向分析：曲率圆圆心指向原点，主法线方向为$(-1,-1)$，斜率为$1$。切线斜率$f'(1)$与主法线斜率乘积为$-1$，故$f'(1) = -1$。

代入$f'(1) = -1$：
$\frac{|f''(1)|}{(1 + (-1)^2)^{3/2}} = \frac{|f''(1)|}{(2)^{3/2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies |f''(1)| = 2$

凹侧方向：曲率圆圆心在凹侧，向下凹对应$f''(x) < 0$，故$f''(1) = -2$。

2. 分析函数性质

• 凹凸性：$f''(x) \neq 0$且不变号，结合$f''(1) = -2$，知$f''(x) < 0$在$(1,2)$内恒成立，函数为凸函数（下凹）。
• 导数单调性：$f''(x) < 0 \implies f'(x)$在$(1,2)$内单调递减。

3. 极值点判断

• $f'(1) = -1$，且$f'(x)$单调递减，故在$(1,2)$内$f'(x) < -1$，无$f'(x) = 0$的点，即无极值点。

4. 零点存在性

• 泰勒展开近似：在$x=1$处展开：
  $f(x) \approx 1 - (x-1) - (x-1)^2$
  当$x=2$时，$f(2) \approx -1$。
• 中间值定理：$f(1) = 1 > 0$，$f(2) \approx -1 < 0$，且$f(x)$连续，故在$(1,2)$内至少存在一个零点。