题目

对任意事件 A、B，下列命题正确的是 A. 如果A. B 互不相容，则 overline(A), overline(B) 也互不相容；B. 如果 A、B 相容，则 overline(A), overline(B) 也相容；C. 如果 A、B 互不相容，且 PA. > 0, P(B) > 0，则 overline(A)、overline(B) 相互独立；D. 如果 A、B 相互独立，则 overline(A), overline(B) 也相互独立.

对任意事件 A、B，下列命题正确的是

  • A. 如果
  • A. B 互不相容，则 $\overline{A}$, $\overline{B}$ 也互不相容；
  • B. 如果 A、B 相容，则 $\overline{A}$, $\overline{B}$ 也相容；
  • C. 如果 A、B 互不相容，且 $P
  • A. > 0$, $P(B) > 0$，则 $\overline{A}$、$\overline{B}$ 相互独立；
  • D. 如果 A、B 相互独立，则 $\overline{A}$, $\overline{B}$ 也相互独立.

题目解答

答案

**答案：D** **解析：** - **A选项**：若 $A$、$B$ 互不相容（即 $A \cap B = \emptyset$），则 $\overline{A} \cap \overline{B} = S - (A \cup B)$ 可能非空，但不一定互不相容，错误。 - **B选项**：若 $A$、$B$ 相容（即 $A \cap B \neq \emptyset$），则 $\overline{A} \cap \overline{B} = S - (A \cup B)$ 可能为空，即可能互不相容，错误。 - **C选项**：若 $A$、$B$ 互不相容且概率均大于0，则 $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - P(A) - P(B) \neq P(\overline{A})P(\overline{B})$，不独立，错误。 - **D选项**：若 $A$、$B$ 相互独立，则 $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A})P(\overline{B})$，满足独立性定义，正确。 **答案：D**

解析

步骤 1：分析选项 A
- 如果 A 和 B 互不相容，即 $A \cap B = \emptyset$，则 $\overline{A} \cap \overline{B} = S - (A \cup B)$ 可能非空，因此 $\overline{A}$ 和 $\overline{B}$ 不一定互不相容。
步骤 2：分析选项 B
- 如果 A 和 B 相容，即 $A \cap B \neq \emptyset$，则 $\overline{A} \cap \overline{B} = S - (A \cup B)$ 可能为空，即可能互不相容。
步骤 3：分析选项 C
- 如果 A 和 B 互不相容且概率均大于0，则 $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - P(A) - P(B) \neq P(\overline{A})P(\overline{B})$，不独立。
步骤 4：分析选项 D
- 如果 A 和 B 相互独立，则 $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A})P(\overline{B})$，满足独立性定义，正确。