题目
一.计算题（共1题）1【计算题】<课堂练习>判断向量beta_(1)=(4,3,-1,11)^T,beta_(2)=(4,3,0,11)^T是否各为向量组alpha_(1)=(1,2,-1,5)^T,alpha_(2)=(2,-1,1,1)^T的线性组合，若是，写出表达式。请结合授课视频，订正后，在右上角写上学号与后拍照上传。（5.0分）
一.计算题（共1题）
1【计算题】<课堂练习>
判断向量$\beta_{1}=(4,3,-1,11)^{T},\beta_{2}=(4,3,0,11)^{T}$是否各为向量组
$\alpha_{1}=(1,2,-1,5)^{T},\alpha_{2}=(2,-1,1,1)^{T}$的线性组合，若是，写出表达式。
请结合授课视频，订正后，在右上角写上学号与后拍照上传。
（5.0分）
题目解答
答案
**解：**
1. **判断 $\beta_1$：**
解方程组 $x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 = \beta_1$，得
\[
\begin{cases}
x_1 + 2x_2 = 4 \\
2x_1 - x_2 = 3 \\
-x_1 + x_2 = -1 \\
5x_1 + x_2 = 11
\end{cases}
\]
化简得 $x_1 = 2$，$x_2 = 1$，故
\[
\boxed{\beta_1 = 2\alpha_1 + \alpha_2}
\]
2. **判断 $\beta_2$：**
解方程组 $x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 = \beta_2$，得
\[
\begin{cases}
x_1 + 2x_2 = 4 \\
2x_1 - x_2 = 3 \\
-x_1 + x_2 = 0 \\
5x_1 + x_2 = 11
\end{cases}
\]
化简后出现矛盾方程 $0 = 1$，无解。
**答案：**
$\beta_1$ 可表示为 $2\alpha_1 + \alpha_2$，$\beta_2$ 不能表示。
解析
步骤 1：判断 $\beta_1$ 是否为 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 的线性组合
为了判断 $\beta_1$ 是否为 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 的线性组合，我们需要解方程组 $x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 = \beta_1$，即
\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 = 4 \\ 2x_1 - x_2 = 3 \\ -x_1 + x_2 = -1 \\ 5x_1 + x_2 = 11 \end{cases} \]
步骤 2：求解方程组
解上述方程组，我们得到
\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 = 4 \\ 2x_1 - x_2 = 3 \\ -x_1 + x_2 = -1 \\ 5x_1 + x_2 = 11 \end{cases} \]
通过消元法，我们得到 $x_1 = 2$，$x_2 = 1$。
步骤 3：判断 $\beta_2$ 是否为 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 的线性组合
为了判断 $\beta_2$ 是否为 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 的线性组合，我们需要解方程组 $x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 = \beta_2$，即
\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 = 4 \\ 2x_1 - x_2 = 3 \\ -x_1 + x_2 = 0 \\ 5x_1 + x_2 = 11 \end{cases} \]
步骤 4：求解方程组
解上述方程组，我们得到
\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 = 4 \\ 2x_1 - x_2 = 3 \\ -x_1 + x_2 = 0 \\ 5x_1 + x_2 = 11 \end{cases} \]
通过消元法，我们发现方程组无解，因为第三行和第四行的方程相互矛盾。
为了判断 $\beta_1$ 是否为 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 的线性组合，我们需要解方程组 $x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 = \beta_1$，即
\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 = 4 \\ 2x_1 - x_2 = 3 \\ -x_1 + x_2 = -1 \\ 5x_1 + x_2 = 11 \end{cases} \]
步骤 2：求解方程组
解上述方程组，我们得到
\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 = 4 \\ 2x_1 - x_2 = 3 \\ -x_1 + x_2 = -1 \\ 5x_1 + x_2 = 11 \end{cases} \]
通过消元法，我们得到 $x_1 = 2$，$x_2 = 1$。
步骤 3：判断 $\beta_2$ 是否为 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 的线性组合
为了判断 $\beta_2$ 是否为 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 的线性组合，我们需要解方程组 $x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 = \beta_2$，即
\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 = 4 \\ 2x_1 - x_2 = 3 \\ -x_1 + x_2 = 0 \\ 5x_1 + x_2 = 11 \end{cases} \]
步骤 4：求解方程组
解上述方程组，我们得到
\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 = 4 \\ 2x_1 - x_2 = 3 \\ -x_1 + x_2 = 0 \\ 5x_1 + x_2 = 11 \end{cases} \]
通过消元法，我们发现方程组无解，因为第三行和第四行的方程相互矛盾。