题目
求指导本题解题过程，谢谢您！11、四-|||-设D由直线 =2, y=x 及y轴所围成的,则二重积分 iint dfrac ({x)^2}({y)^2}dxdy= __-|||-(3分)-|||-A) dfrac (2)(3)-|||-B dfrac (9)(14)-|||-C) dfrac (5)(3)-|||-D) dfrac (4)(3)
求指导本题解题过程，谢谢您！
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
由直线 y=2, y=x 及y轴所围成的区域D，可以确定积分区域的边界。y=x和y轴的交点为原点(0,0)，y=x和y=2的交点为(2,2)。因此，积分区域D可以表示为：$0\leqslant y\leqslant 2$ 和 $0\leqslant x\leqslant y$。
步骤 2：设置二重积分
根据积分区域D，设置二重积分 $\iint \dfrac {{x}^{2}}{{y}^{2}}dxdy$。由于积分区域D是关于y的函数，因此可以将二重积分转换为先对x积分，再对y积分的形式，即 ${\int }_{0}^{2}dy{\int }_{0}^{y}\dfrac {{x}^{2}}{{y}^{2}}dx$。
步骤 3：计算二重积分
首先计算内层积分 ${\int }_{0}^{y}\dfrac {{x}^{2}}{{y}^{2}}dx$，得到 $\dfrac {y}{3}$。然后计算外层积分 ${\int }_{0}^{2}\dfrac {y}{3}dy$，得到 $\dfrac {{y}^{2}}{6}{10}^{2}=\dfrac {2}{3}$。
由直线 y=2, y=x 及y轴所围成的区域D，可以确定积分区域的边界。y=x和y轴的交点为原点(0,0)，y=x和y=2的交点为(2,2)。因此，积分区域D可以表示为：$0\leqslant y\leqslant 2$ 和 $0\leqslant x\leqslant y$。
步骤 2：设置二重积分
根据积分区域D，设置二重积分 $\iint \dfrac {{x}^{2}}{{y}^{2}}dxdy$。由于积分区域D是关于y的函数，因此可以将二重积分转换为先对x积分，再对y积分的形式，即 ${\int }_{0}^{2}dy{\int }_{0}^{y}\dfrac {{x}^{2}}{{y}^{2}}dx$。
步骤 3：计算二重积分
首先计算内层积分 ${\int }_{0}^{y}\dfrac {{x}^{2}}{{y}^{2}}dx$，得到 $\dfrac {y}{3}$。然后计算外层积分 ${\int }_{0}^{2}\dfrac {y}{3}dy$，得到 $\dfrac {{y}^{2}}{6}{10}^{2}=\dfrac {2}{3}$。