1 lim _(xarrow 0)xcos dfrac (1)(x)=

考查要点：本题主要考查无穷小量与有界函数的乘积的极限性质，以及夹逼定理（两边夹定理）的应用。

解题核心思路：

1. 识别各部分函数的性质：当$x \to 0$时，$x$是无穷小量，而$\cos\left(\frac{1}{x}\right)$是有界函数（值域为$[-1,1]$）。
2. 结合性质分析乘积：无穷小量乘以有界函数仍为无穷小量，因此极限为$0$。
3. 验证方法：通过夹逼定理严格证明极限值。

步骤分析

1. 确定各部分函数的性质：

   • 当$x \to 0$时，$x$是无穷小量，即$\lim\limits_{x \to 0} x = 0$。
   • $\cos\left(\frac{1}{x}\right)$的值域为$[-1,1]$，因此$\left|\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right| \leq 1$，即$\cos\left(\frac{1}{x}\right)$是有界函数。

2. 应用乘积性质：

   • 无穷小量乘以有界函数仍为无穷小量，因此：
     $\lim\limits_{x \to 0} x \cdot \cos\left(\frac{1}{x}\right) = 0.$

3. 严格证明（夹逼定理）：

   • 由于$-1 \leq \cos\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1$，两边乘以$x$（注意$x \to 0$时$x > 0$，不改变不等号方向）：
     $-x \leq x \cdot \cos\left(\frac{1}{x}\right) \leq x.$
   • 当$x \to 0$时，$-x \to 0$，$x \to 0$，根据夹逼定理：
     $\lim\limits_{x \to 0} x \cdot \cos\left(\frac{1}{x}\right) = 0.$