题目

常用函数的幂级数展开式(1) e^x = 1 + x + (1)/(2!)x^2 + ... + (1)/(n!)x^n + ..., x in (-infty, +infty)(2) sin x = x - (x^3)/(3!) + (x^5)/(5!) - (x^7)/(7!) + ... + (-1)^n (x^2n+1)/((2n+1)!) + ..., x in (-infty, +infty)(3) cos x = 1 - (x^2)/(2!) + (x^4)/(4!) - (x^6)/(6!) + ... + (-1)^n (x^2n)/((2n)!) + ..., x in (-infty, +infty)(4) ln(1+x) = x - (1)/(2)x^2 + (1)/(3)x^3 - (1)/(4)x^4 + ... + ((-1)^n)/(n+1)x^n+1 + ...,

常用函数的幂级数展开式

(1) $e^x = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \cdots + \frac{1}{n!}x^n + \cdots, x \in (-\infty, +\infty)$

(2) $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots, x \in (-\infty, +\infty)$

(3) $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots, x \in (-\infty, +\infty)$

(4) $\ln(1+x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4 + \cdots + \frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1} + \cdots,$

题目解答

答案

(1) $ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $，收敛域：$ (-\infty, +\infty) $ (2) $ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $，收敛域：$ (-\infty, +\infty) $ (3) $ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} $，收敛域：$ (-\infty, +\infty) $ (4) $ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} $，收敛域：$ (-1, 1] $ \[ \boxed{ \begin{array}{ccccc} \text{(1) } e^x &=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} & x \in (-\infty, +\infty) \\ \text{(2) } \sin x &=& \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} & x \in (-\infty, +\infty) \\ \text{(3) } \cos x &=& \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} & x \in (-\infty, +\infty) \\ \text{(4) } \ln(1+x) &=& \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} & x \in (-1, 1] \end{array} } \]

解析

本题主要考查常用函数的幂级数展开式及其收敛域的知识。解题思路是根据已知的常用函数幂级数展开式的前几项形式，总结出其通用的幂级数表达式（用求和符号表示），并明确其收敛域。

（1）对于$e^x$

已知$e^x = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \cdots + \frac{1}{n!}x^n + \cdots$，其每一项的系数为$\frac{1}{n!}$，$x$的次数为$n$，$n$从$0$开始取值，所以可以写成求和形式$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$。
根据指数函数的性质，$e^x$的幂级数展开式在整个实数域$(-\infty, +\infty)$上都收敛，即收敛域为$(-\infty, +\infty)$。

（2）对于$\sin x$

已知$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!} + \cdots$，其每一项的系数为$(-1)^n\frac{1}{(2n + 1)!}$，$x$的次数为$2n + 1$，$n$从$0$开始取值，所以可以写成求和形式$\sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!}$。
正弦函数的幂级数展开式在整个实数域$(-\infty, +\infty)$上都收敛，即收敛域为$(-\infty, +\infty)$。

（3）对于$\cos x$

已知$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots$，其每一项的系数为$(-1)^n\frac{1}{(2n)!}$，$x$的次数为$2n$，$n$从$0$开始取值，所以可以写成求和形式$\sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$。
余弦函数的幂级数展开式在整个实数域$(-\infty, +\infty)$上都收敛，即收敛域为$(-\infty, +\infty)$。

（4）对于$\ln(1 + x)$

已知$\ln(1 + x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4 + \cdots + \frac{(-1)^n}{n + 1}x^{n + 1} + \cdots$，其每一项的系数为$(-1)^{n - 1}\frac{1}{n}$，$x$的次数为$n$，$n$从$1$开始取值，所以可以写成求和形式$\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n - 1} \frac{x^n}{n}$。
通过幂级数收敛半径的计算$R=\lim\limits_{n \to \infty}|\frac{a_n}{a_{n + 1}}|=\lim\limits_{n \to \infty}|\frac{(-1)^{n - 1}}{n}\cdot\frac{n + 1}{(-1)^n}| = 1$，再判断端点处的敛散性：

当$x = 1$时，$\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n - 1} \frac{1}{n}$是交错级数，根据莱布尼茨判别法可知其收敛。
当$x = -1$时，$\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n - 1} \frac{(-1)^n}{n}=-\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$是调和级数，发散。
所以$\ln(1 + x)$的收敛域为$(-1, 1]$。