题目
单选题（共20题，100.0分） 17.（5.0分）设A为三阶方阵，且|A|=3，则|-3A⁻¹|=：A. 9B. -3C. 3D. -9
单选题（共20题，100.0分） 17.（5.0分）设A为三阶方阵，且|A|=3，则|-3A⁻¹|=：
A. 9
B. -3
C. 3
D. -9
题目解答
答案
D. -9
解析
步骤 1：求 $ |A^{-1}| $
根据矩阵行列式的性质，矩阵的逆的行列式等于矩阵的行列式的倒数，即 $ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} $。由于 $ |A| = 3 $，我们有：
\[ |A^{-1}| = \frac{1}{3} \]
步骤 2：求 $ |-3A^{-1}| $
根据矩阵行列式的性质，矩阵的标量乘法的行列式等于标量的 $ n $ 次方乘以矩阵的行列式，其中 $ n $ 是矩阵的阶数。由于 $ A $ 是一个三阶方阵，我们有：
\[ |-3A^{-1}| = (-3)^3 |A^{-1}| = -27 \cdot \frac{1}{3} = -9 \]
根据矩阵行列式的性质，矩阵的逆的行列式等于矩阵的行列式的倒数，即 $ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} $。由于 $ |A| = 3 $，我们有：
\[ |A^{-1}| = \frac{1}{3} \]
步骤 2：求 $ |-3A^{-1}| $
根据矩阵行列式的性质，矩阵的标量乘法的行列式等于标量的 $ n $ 次方乘以矩阵的行列式，其中 $ n $ 是矩阵的阶数。由于 $ A $ 是一个三阶方阵，我们有：
\[ |-3A^{-1}| = (-3)^3 |A^{-1}| = -27 \cdot \frac{1}{3} = -9 \]