6.若级数sum_(n=1)^inftyc_(n)收敛，且存在常数alphain(0,(pi)/(2))使得|argc_(n)|leqalpha(n=1,2,...)，则级数sum_(n=1)^inftyc_(n)绝对收敛.（）【答案】正确

考查要点：本题主要考查复数级数的绝对收敛性判断，涉及辐角限制对级数收敛性的影响，以及比较判别法的应用。

解题核心思路：

1. 复数级数的收敛性分解：复数级数收敛意味着其实部和虚部分别收敛。
2. 辐角限制的作用：当辐角被限制在固定范围内时，复数的实部与模之间存在确定的比例关系。
3. 比较判别法的应用：通过实部级数的收敛性，结合辐角限制条件，推导出模级数的收敛性。

破题关键点：

• 利用辐角范围推导实部下界：由$|\arg c_n| \leq \alpha$可得$\cos \theta_n \geq \cos \alpha > 0$，从而建立实部与模的关系$r_n \cos \theta_n \geq r_n \cos \alpha$。
• 比较判别法的桥梁作用：通过实部级数的收敛性，反向推导模级数的收敛性。

设复数项级数$\sum_{n=1}^\infty c_n$收敛，且存在$\alpha \in (0, \frac{\pi}{2})$使得$|\arg c_n| \leq \alpha$。将$c_n$表示为极坐标形式：
$c_n = r_n e^{i\theta_n} = r_n (\cos \theta_n + i \sin \theta_n),$
其中$r_n = |c_n|$，$|\theta_n| \leq \alpha$。

步骤1：分解实部与虚部
级数$\sum_{n=1}^\infty c_n$收敛，因此其实部$\sum_{n=1}^\infty r_n \cos \theta_n$和虚部$\sum_{n=1}^\infty r_n \sin \theta_n$均收敛。

步骤2：分析实部的下界
由于$|\theta_n| \leq \alpha$且$\alpha \in (0, \frac{\pi}{2})$，有$\cos \theta_n \geq \cos \alpha > 0$，因此：
$r_n \cos \theta_n \geq r_n \cos \alpha.$

步骤3：应用比较判别法
由$\sum_{n=1}^\infty r_n \cos \theta_n$收敛，且$r_n \cos \theta_n \geq r_n \cos \alpha$，可知$\sum_{n=1}^\infty r_n \cos \alpha$也收敛。
进一步，因$\cos \alpha > 0$，两边除以$\cos \alpha$得：
$\sum_{n=1}^\infty r_n = \sum_{n=1}^\infty |c_n| \text{收敛}.$

结论：$\sum_{n=1}^\infty |c_n|$收敛，即原级数绝对收敛。